Задача расстановки идентификаторов для рёбер куба.

[Гость]

У меня есть задача, для которой я затрудняюсь найти решение. Даже не знаю, выполнимы ли все условия для решения такой задачи:

Постановка условий для определения идентификаторов рёбер куба:
Мы используем литеры: A, B, C, D как первичный идентификатор.
Добавляем к литере маленькую литеру: x, y, z.
Получаем 12 идентификаторов для рёбер.
Необходимо расставить идентификаторы для рёбер куба, в соответствии со следующими условиями:
1. Идентификаторы A - C, B - D всегда должны находиться на противоположных рёбрах (по диагонали).
2. Каждая сторона куба, должна иметь рёбра маркированные идентификаторами A, B, C, D.
3. вторичные идентификаторы x, y, z расставляются для рёбер перпендикулярных плоскости пересекающей куб.
Таким образом, для плоскости пересекающей куб по оси x, мы имеем рёбра: Ax, Bx, Cx, Dx.
Рёбра перпендикулярные плоскости y: Aу, Bу, Cу, Dу.
Рёбра перпендикулярные плоскости z: Az, Bz, Cz, Dz.
4. Если считать, что рёбра - это направления (потоки или стрелки) из одной вершины в другую, то порядок направлений такой:
Каждые две противолежащие вершины, находящиеся на оси вращения куба (на диагонали от одной вершины к другой, через центр куба) имеют следующие характеристики:
а) две противолежащие вершины имеющие 3 входа.
б) две противолежащие вершины имеющие 3 выхода.
в) две вершины имеющие 2 входа и 1 выход.
г) две вершины имеющие 2 выхода и 1 вход.
5. Существуют группы рёбер, которые имеют чёткую привязку к противолежащим вершинам:
Ax, By, Cz - Cx, Dy, Az
Dx, Ay, Bz - Bx, Cy, Dz
где Ax ребро параллельно ребру Cx, находящемуся на оси симметрии куба, проходящей перпендикуляром через эти два ребра и через центр куба. Эти два ребра считаются направлениями из вершины в вершину, текущими в противоположных направлениях.
Так же, противолежащие рёбра, текущие в противоположных направлениях, это: By - Dy, Cz - Az, Dx - Bx, Ay - Cy, Bz - Dz.
6. Вершина координат куба: 1,1,1 будет иметь все входящие направления рёбер с идентификаторами: Ax, By, Cz, как и противолежащая ей вершина с координатами 0,0,0 будет иметь все рёбра с идентификаторами: Cx, Dy, Az, как входящие.
Конец условий.
Задача такова:
Не нарушая условия, нужно расставить идентификаторы рёбрам куба, ставя его рядом с двумя координатами соединённых ребром вершин куба.

[Гость]

Каждая сторона не может иметь полный набор A, B, C, D идентификаторов. Однако, мы можем игнорировать это условие, если сместим акцент на том, что каждая вершина должна иметь спин вращения вокруг оси вращения куба, исходя из общей последовательности:
Ax, By, Cz / Dx, Ay, Bz / Cx, Dy, Az / Bx, Cy, Dz
Разбиение идет на группы.
Первая и третья, вторая и четвёртая группы комплементарны. Их последовательности выполняют условие Противолежания идентификаторов A - C, B - D.
Если выставить в координату куба 0,0,0 рёбра Ax, By, Cz, то образуется спин вращения вокруг вершины. последовательность первой группы.
В противоположной вершине с кординатами 1,1,1 мы выставим для рёбер последовательность третьей группы Cx, Dy, Az. Спин оси вращения для этой вершины будет совпадать с последовательностью первой группы. Таким образом, мы видим, что образована ось вращения, а каждая оставшаяся вершина куба имеет уже промаркированное ребро.
Нам нужно расставить идентификаторы оставшимся рёбрам так, чтобы была некая закономерность для двух оставшихся рёбер. К примеру, сохранить последовательность литер A - B - C - D, чтобы у каждой вершины была последовательность из трёх литер подряд, при отсутствии двух одинаковых.
Здесь уже интересно выполнимо ли условие, что для каждой вершины, входящие рёбра должны иметь уникальные первичные идентификаторы, чтобы в одну вершину не входило два одинаковых, первичных идентификатора. По сути, нужно определить оставшиеся три комплиментарные пары первичных идентификаторов. Но при этом интересно, выполнимо ли условие, что последовательность литер у каждой вершины будет образовывать ось вращения куба. Спин в противолежащих вершинах. Интересно, какое количество вариантов расстановки будет наиболее удовлетворять условиям? И возможен ли единственно идеальный вариант? А тем более, возможно ли проделать такое с рёбрами гиперкуба? Чтобы все 8 кубов гиперкуба соответствовали условиям и при этом имели общие рёбра.

[Гость]

... каждая вершина должна иметь спин вращения вокруг оси вращения куба...
Если выставить в координату куба 0,0,0 рёбра Ax, By, Cz, то образуется спин вращения вокруг вершины.

Тогда надо вращение уже, а это место этой оси, место того, что вокруг этой оси и место их разделяющее.
Если из этих трёх разных элементов какой-то назвать словом "спин", ничего не поменяется, получится, как минимум три разных в любом случае.
Между двумя всегда третий, без него два не могут быть вообще разделены из одного. Три разных - минимум, не меньше.
Что-то четвертое уже совпадает с одним из трех разных преимущественно. Где-то не поставили вершину, где-то одно приняли за два, где-то в одном три разных не различили.