Узлы и зацепления в 3D-топологии

[Rados]

Важным объектом изучения в Общей Топологии являются узлы.
Узел можно представить себе как верёвку, концы которой соединены и не разрывны.
Один из наиболее простых узлов - это т. н. "трилистник", изображённый на схеме. При этом надо иметь в виду, то в математике такая ЛИНИЯ - это одномерный объект, имеющий только ДЛИНУ (1D), и не имеющий никакой "ширины и толщины". Поэтому графически (на листе бумаги или на школьной доске) такие линии имеют "условную материальность", а в топологии называются ГРАФАМИ.
Деформации, о которых пойдёт речь, на первый взгляд кажутся НЕВОЗМОЖНЫМИ.
А в топологии рассматриваемые фигуры представляются как эластичные тела, которые МОЖНО деформировать, то есть сминать, сжимать и растягивать в трёхмерном пространстве, НЕ ДОПУСКАЯ при этом разрывов и склеек!

трислистник.JPG (59.87 КБ) Просмотров: 46

[Rados]

Чтобы производить какие-либо преобразования с такими объектами нам необходимо иметь МАТЕРИАЛЬНУЮ модель (макет), который можно будет рассматривать с РАЗНЫХ сторон и с РАЗЛИЧНЫХ "кочек зрения Наблюдателя". Для этого можно использовать узкую полоску из листа бумаги, у которой "в натуре" ЕСТЬ таки и ширина, и толщина...
Но топологические свойства УЗЛА от этого не меняются, так как такую фигуру МОЖНО ДЕФОРМИРОВАТЬ "без разрывов и склеек".
На фотографиях представлены разные позиции одного и того же объекта - ТРИЛИСТНИКА, но могут быть и ДРУГИЕ инварианты, выполненные из более эластичного материала.

[Rados]

Представленные модели "трилистника" могут иметь РАЗНЫЕ отображения (проекции) в системе координат, но в данном случае нас интересуют НЕ параметрические уравнения этой ЗАМКНУТОЙ линии, а различные деформации (преобразования) этого ЛИНЕЙНОГО объекта в реальном трёхмерном пространстве.
Основные понятия взяты из вводного курса лекций по топологии, изложенные в книге профессора В. В. Прасолова "Наглядная топология".
Макеты и фотографии выполнены в конструкторском бюро "КаМКон" - для более наглядного представления топологических свойств линий (1D) и поверхностей (2D).

[Rados]

Узел можно представить себе как верёвку, концы которой соединены и не разрывны.

В некоторых позиция разные узлы могут выглядеть (отображаться) похожими друг на друга.
Но при внимательно рассмотрении можно обнаружить их топологические различия...
Например, узел "восьмёрка" более сложный, чем "трилистник", поэтому преобразовать один из них в другой НЕВОЗМОЖНО.
В этом проявляется свойство зацепления узлов, то есть, какие-то одни узлы расцепить (отделить) можно, а какие-то другие НЕВОЗМОЖНО...
Эти свойства узлов на практике чаще всего используются в морском деле и альпинизме, ... а так же в топографии и топологии...