Для многих участников Форума не очень понятно: ПОЧЕМУ геометрическая точка не имеет никакого раз-МЕРА и считается со времён Евклида "нульмерной".
Объяснить это НЕматематикам УСТНО (или буквами в Интернете) весьма проблематично, поэтому "обратимся к первоисточникам" - непосредственн к Пифагору и его знаменитой теореме "о квадрате гипотенузы"!
В предыдущей конференции мы обсуждали "проблему отсутствия нуля", но дискуссия не имела никакого реального результата, потому что в Математике НОЛЬ ВСЁ-ТАКИ СУЩЕСТВУЕТ!
Просто его ПОКАЗАТЬ "в натуре" нечем.
Если мы рисуем на бумаге какую-то "линию без толщины", то имеем в виду только ОДНО измерение - ДЛИНУ этой линии, а в топологии принято утверждение, что ОТРЕЗОК линии (1D) заканчивается ТОЧКОЙ (0D).
А точки пересечени линий в топологии называют "узлами", а рассматриваемые ОБЪЕКТЫ - "фигурами". Например, треугольник - это фигура, состоящая из трёх отрезков, соединяющихся в трёх разных точках. При этом каждая из этих точек принадлежит двум соединённым отрезкам.
Как эти "нульмерные точки" ПОКАЗАТЬ на числовой оси?
Это принято делать тоже отрезками, перпендикулярными к числовой оси и распределёнными на РАВНОМ расстоянии друг от друга. Поэтому на схеме мы обозначим точки на оси Y римскими цирами, у которых нет "цифры НОЛЬ", а осью "Х" просто разграничим положительные значения "игреков" знаком (+), а отрицательные - знаком (-). У Пифагора тоже ведь ВСЕ числа были положительными, а "нульмерным точкам" никаких определённых размеров не придавалось. Пересечение оси "Х" с осью "Y" у нас будет ПЕРВОЙ точкой, поэтому обозначим её римской цифрой "I" и далее разметим на оси Y ещё семь таких же точек. Расстояние МЕЖДУ этими точками на оси Y одинаковое и равно единичном диаметру окружности, который имеет только ЛИНЕЙНЫЙ размер = 1d. И таким образом расстояние от точки VI до точки I будет равно 5d.
Если провести на этом диаметре окружность = 5d, то её можно принять за гипотенузу треугольника со сторонами а, b и с, а угол, опирающийся на диаметр всегда является ПРЯМЫМ углом. Треугольник синего цвета в данном случае является "египетским" треугольником со сторонами
а = 4, b = 3, с = 5.
И точно такой же треугольник получится по точкам VI - I - 2 на этой же окружности (с диаметром = 5d), а площадь прямоугольника будет равна ПРОИЗВЕДЕНИЮ а х b. По тереме Пифагора запишем "алгебраически": [tex]а^{2 }[/tex] + [tex]b^{2 }[/tex] = [tex]с^{2 }[/tex] и проверим "арифметически": [tex]4^{2 }[/tex] + [tex]3^{2 }[/tex] = [tex]5^{2 }[/tex].
Строить квадраты на сторонах "египетского" треугольника нам для этого не потребовалось, а числа 3, 4 и 5 составляют ПЕРВУЮ тройку из МНОЖЕСТВА "пифагоровых троек"... При этом диаметр описанной вокруг треугольника окружности всегда является наибольшим числом в таких "тройках" и совпадает с числовой осью Y, а ось Х в этих измеренияю вообще НЕ УЧАСТВУЕТ.
Что из этого следует?!
Из этого следует, что любые ДРУГИЕ "пифагоровы тройки" можно вычислить через длину гипотенузы "египетского" треугольника.
Например, если гипотенузу КРАТНО увеличить до точки "8" (на бесконечной оси Y), то оба катета a и b увеличатся ПРОПОРЦИОНАЛЬНО со-отношению 7/5 = 1,4 ... То есть, числа а = 4х1,4= 5,6 ... b = 3х1,4 = 4,2 и c =7 так же составляют "пифагорову тройку".
Аналогично можно вычислить и в другую сторону, КРАТНО уменьшая гипотенузу с на оси координат Y.
Например, если с = 3, то а = 4х3/5 = 2,4 ... b = 3x3/5 = 1,8
При с = 1 a = 0,8 ... b = 0,6
"Кто не верит - пусть проверит!" ... (на калькуляторе) по теореме Пифагора [tex]а^{2 }[/tex] + [tex]b^{2 }[/tex] = [tex]с^{2 }[/tex]