Связь музыки с математикой

[Rados]

В математике давно уже замечено, что особую роль в натуральных числах играют порождающие множества мощности 7.
Интересный вопрос — почему именно множества из 7 элементов?!
В натуральных числах «семь» — это наименьшая мощность, при которой получается нетривиальное порождающее множество. Другими словами - расстояниями между элементами (нотами в музыке) являются как тоны, так и полутоны. При этом чередование тонов и полутонов в одной гамме не является «симметричным» с точки зрения геометрии. Наглядно можно убедиться в этом на клавиатуре пианино. Начиная с ноты «до» (обозначенной буквой С) три клавиши белого разделяются двумя чёрными клавишами, а с ноты «фа» (обозначенной буквой F) четыре клавиши белого цвета разделяются тремя чёрными клавишами. Расстояние между двумя нотами (звуками музыки) называется интервалом, а между двумя соседними звуками – полутоном. Например, между нотой E(ми) и нотой F(фа) нет чёрной клавиши – так же как между нотой В(си) и нотой С(до). Это значит, что интервал между ними равен полутону. В самой простой гамме, которая называется До-мажор (С-dur), вообще отсутствуют промежуточные «чёрные ноты» - как и на клавишах обычной гармошки. Но общая «сумма интервалов» в любой полной октаве всегда равна 12 полутонам. Для До-мажора это выражается последовательностью звукоряда «тон+тон+полутон+три тона+полутон» - в цифровой записи = 1+1+1/2+3+1/2 = 6 = 12 полутонов. Точно так же и для Ля-минора,(А-moll) только в другой последовательности: «тон+полутон+два тона+полутон+два тона» - в цифровой записи 1+1/2+2+1/2+2=6 = 12 полутонов. В этом заключается главное отличие мажорного и минорного ладов.

[Rados]

Но полная октава включает в себя ВОСЬМУЮ ноту, которая одновременно является и ПЕРВОЙ нотой следующей октавы! От «до» до «до» - ВКЛЮЧИТЕЛЬНО, то есть 8 нот или 12 полутонов. При этом «порождающим множеством» везде остаётся именно число «семь» и 11 полутонов! Если соединить две таких последовательности, в один звукоряд, то получается 22 полутона и семь нот. А соотношение этих чисел даёт нам «необходимое и достаточное» значение «числа ПИ» = 22/7, что было подмечено ещё в пифагорейских лецеях в VI веке до нашей эры!
Однако, все последующие геометры искали соотношение длины ПЕРИМЕТРА (1D) многоугольников, вписанных в окружность, к длине диаметра (1D) этой же окружности – методом графического построения (рисования) «с помощью циркуля и линейки». В результате такого «арифметического деления» в десятичной системе получается бесконечное «число ПИ», которое математики называют «трансцендентым». То есть, по сути – МИФИЧЕСКИМ (потусторонним, недоступным опытному познанию)… В то же время все композиторы и музыканты вполне обходятся «чисто математическими» соотношениями (музыкальными интервалами) из семи нот – как бы в «семиричной системе счёта» с дополнением полутонов… «Главное в этом деле – вовремя нажимать нужные кнопки!»
Тем не менее, современное развитие кибернетики и компьютерной техники позволило найти ГРАФИЧЕСКОЕ доказательство соотношения количества полутонов = 22 к количеству семи нот, которое было «предсказано» ещё Пифагором. То есть, «коэффициент ПИ» имеет точное значение только в натуральных числах – именно как соотношение 22/7. Для этого понадобилось применить методы сферической топологии на плоскости, которые сильно отличаются от «привычных» алгебраических формул, известных всем Высшим Математикам, но недоступных для понимания «простыми» музыкантами. Хотя «интуитивно» такую подсказку высказал - в частном диалоге про «музыку сфер» - некто Гриша Перельман ещё в 2003 году, когда он ещё не был известен во всё Мире как Великий Математик Вселенной!
Но попробуем разобраться в этом вопросе уже «без подсказки» Григория Перельмана!
Музыкальный звукоряд из 11 интервалов точно вписывается в полуокружность, имеющую в диаметре семь точно таких же интервалов.

[Rados]

Для этого доказательства «необходимо и достаточно» просто свернуть ряд из 22 окружностей, соединив крайние точки этого «звукоряда» в одну «нулевую» точку на окружности с диаметром (D) равным семи диаметрам (d). И тогда на длине окружности L вместится ровно 22 окружности с диаметром d. В цифрвоой (математической?) записи это будет L = 22d при d=1/7D. То есть. коэффициент ПИ = 22/7 - для любого дейcтвительного числа =d. При этом перевод в десятичную дробь делает это соотношение ЦИКЛИЧЕСКИМ. То есть (с топологической кочки зрения) - замкнутым графом!

[Гость]

Другими словами - расстояниями между элементами (нотами в музыке) являются как тоны, так и полутоны. При этом чередование тонов и полутонов в одной гамме не является «симметричным» с точки зрения геометрии.
... Расстояние между двумя нотами (звуками музыки) называется интервалом, а между двумя соседними звуками – полутоном. Например, между нотой E(ми) и нотой F(фа) нет чёрной клавиши – так же как между нотой В(си) и нотой С(до). Это значит, что интервал между ними равен полутону.

Интервал, нота и полутон - как бы три меры. Интервал равен полутону? Это в самом деле возможно? Или это предел чувствительности?

[Rados]

Интервал, нота и полутон - как бы три меры

Не совсем так, уважаемый Гость!
Сначала надо ОПРЕДЕЛИТЬ - что такое "МЕРА" (что и чем измеряется).
Мера — это устаревший термин, то же, что единица физической величины
Например, Мера или Четверик — это старорусская единица объёма сыпучих тел, равная 26,24 литра.
А в Физике принято считать, что "Мера — средство измерений, предназначенное для воспроизведения и хранения значения физической величины".
В музыке (в отличие от графики) измеряются ЗВУКИ, так ведь? Поэтому и "чувственное восприятия" РАЗЛИЧНЫХ звуков (как сигналов) измеряется не глазами, а ушами. То есть, визуально МЫ способны отличать "что длинее, а что короче" - даже без измерительных приборов. А звуки МЫ способны отличать "по тону" - низкие от высоких - не глазами, а НА СЛУХ. Если тон одного звука не отличается от тона другого звука, то "на слух" МЫ можем отличить их только по ДЛИТЕЛЬНОСТИ звучания или по ГРОМКОСТИ (силе звука). Но точно так же МЫ отличаем длительность ПАУЗ (= 0 силы звука) между несколькими одинаковыми (по тону) звуками. Проще всего это понять на примере т.н. "азбуки Морзе", в которой "тон не имеет значения", потому что частота всех сигналов (точек и тире) - ОДНА И ТА ЖЕ. А различная комбинация точек и тире достигается различной длительностью отдельных сигналов и пазу между ними. ГРАФИЧЕСКИ точка тоже легко отличима от тире - ВИЗУАЛЬНО, но при этом между ними есть "пустоты" (линейные расстояния, разрывы).
Если бы не было таких пауз (отсутствия звука), то графически всю азбуку Морзе надо изобразить сплошной линией. Но такая линия не может быть "бесконечной", то есть имеет ПРЕДЕЛЫ - начало передачи и конец передачи сигналов (звуков)!
В музыкальной гамме МЫ тоже различаем начальный (первый) звук гаммы от последнего звука в этой гамме. Например, в т.н. "до-мажоре" последовательность из семи нот начинаетеся с "до" и заканчивается "си": до-ре-ми-аф-соль-ля-си = 7 нот.Каждая нота при этом ОТЛИЧАЕТСЯ от других нот "на слух", а в нотной записи занимает определённую по уровню позицию на "шкале" из пяти линий. И это же различие устанавливается на музыкальных инструментах - как и показано на клавишах пианино, где каждой НОТЕ придаётся буквенное обозначение.

Таким образом МЫ определили, что НОТА - это не "мера", а определённое ЗВУЧАНИЕ (частота колебания звука). А непрерывная последовательность звуков дифференцируется интервалами МЕЖДУ соседними нотами. Длительность каждой ноты в данном случае тоже "не имеет значения" и принимается за единицу, то есть все ноты одинаковые по длительности, но разные "по звучанию". Полутон - это минимальное различие между двумя нотами, то есть "мерка" или "модуль"... При этом восьмая нота в каждой ОКТАВЕ соответствует "по звучанию" первой ноте следующей октавы, а сумма полутонов между ними составляет = 12. И если представить эту последовательность как ЗАМКНУТУЮ линию, то первый и последний полутон совпадают в одной ноте, и получается 11 "точек соединения". Таким образом полная окужность ГРАФИЧЕСКИ представляет собой линейную СУММУ 22 интервалов по замкнутому контуру звукоряда, а в диаметр этой окружности укладывается ровно СЕМЬ ЦЕЛЫХ нот каждой гаммы.
"Двадцать два ОТНОСИТСЯ к семи" (но не делится на семь частей!) - как длина окружности к длине диаметра этой же окружности!"

"Что и требовлось показать графически"...

[Гость]

Сначала надо ОПРЕДЕЛИТЬ - что такое "МЕРА" (что и чем измеряется).
Мера — это устаревший термин, то же, что единица физической величины
Например, Мера или Четверик — это старорусская единица объёма сыпучих тел, равная 26,24 литра.
А в Физике принято считать, что "Мера — средство измерений, предназначенное для воспроизведения и хранения значения физической величины".

Мера из викисловаря - мерка, единица, количество. Какое минимально может существовать количество единиц?

В музыке (в отличие от графики) измеряются ЗВУКИ, так ведь?

Музыкальные звуки. Которые слышат только те, кто обладает музыкальным слухом.

То есть, визуально МЫ способны отличать "что длинее, а что короче" - даже без измерительных приборов.

На снимки кратеров Луны в Википедии посмотрите, где мы там что-то способны отличать?! У вас они выпуклые, к примеру, а у меня вогнутые. У вас до них рукой подать, а у меня они вдали. Это такой образный пример, как мы отличаем что длинее, а что короче.
Что касается измерительных приборов, то благодаря им появляется возможность присоединения другого вида чувствительности - тактильной, к примеру (потрогать). Тогда можно соизмерить в больших пределах и запомнить.

А звуки МЫ способны отличать "по тону" - низкие от высоких - не глазами, а НА СЛУХ. Если тон одного звука не отличается от тона другого звука, то "на слух" МЫ можем отличить их только по ДЛИТЕЛЬНОСТИ звучания или по ГРОМКОСТИ (силе звука).

Не всегда различать. Музыкальный тон может быть неразличим для тех, у кого музыкального слуха нет. Но это не говорит о том, что при этом не отличат писк комара от жужжания пчелы, когда и длительность и громкость в близких пределах.

ГРАФИЧЕСКИ точка тоже легко отличима от тире - ВИЗУАЛЬНО, но при этом между ними есть "пустоты" (линейные расстояния, разрывы).
Если бы не было таких пауз (отсутствия звука), то графически всю азбуку Морзе надо изобразить сплошной линией. Но такая линия не может быть "бесконечной", то есть имеет ПРЕДЕЛЫ - начало передачи и конец передачи сигналов (звуков)!

И сколько мерок в линии?

Таким образом МЫ определили, что НОТА - это не "мера", а определённое ЗВУЧАНИЕ (частота колебания звука).

Колебания деформации инструмента? В трех пространственных измерениях двумерное колебание?

А непрерывная последовательность звуков дифференцируется интервалами МЕЖДУ соседними нотами.

Но ведь звуки уменьшаются по громкости и накладываются друг на друга и на шум до бесконечности.

Полутон - это минимальное различие между двумя нотами, то есть "мерка" или "модуль"...

Полутон тоже имеет длительность, но где-то порог чувстительности не позволяет эту мерку различить. Шум может накладываться на него и интервал.

[Rados]

Какое минимально может существовать количество единиц?

Минимальное КОЛИЧЕСТВО - это и есть ЕДИНИЦА!
Отстутствие единиц - это "пустое место" (ничто, ноль целых единиц). Сравните с "количеством единиц" на бухгалтерских счётах при наборе числа "десять"!
Письменно ПОКАЗЫВАЕМ "один десяток + ноль единиц" = 10, а на счётах откладываем одну "костяшку" на второй линии.
В римских цифрах ноль графические вообще не отображается, но все ЗНАЮТ, что "цифра X" означает такое же КОЛИЧЕСТВО единиц как и 10 (арабскими цифрами). Устно это МЫ произносим (по-русски): "ДЕСЯТЬ"...

ВЫ этого не улышали, но тоже ПОНЯЛИ, так ведь?

[Rados]

слышат только те, кто обладает музыкальным слухом

Хороший вопрос!
Глухие вообще НИЧЕГО не слышат?!! А вот в Истории музыки известены "случаи", когда известные композиторы (например, Бетховен) вообще теряли слух, но продолжали ПИСАТЬ МУЗЫКУ и исполнять её своими голосами и/или на МУЗЫКАЛЬНЫХ инструментах. В музыкальных школах есть специальная дисциплина - сольфеджио, в которой учеников учат ЗАПОМИНАТЬ и точно ВОСПРОИЗВОДИТЬ своим голосом музыкальные звуки разничные по интервалам. Например, хорошо известное начало Гимна Советского Союза "подсказывает" музыкальный интервал, который называется "КВАРТА" (до - фа)!
То есть, т.н. "музыкальный слух" (по определению американского отоларинголога, профессора Павла Ястребоффа (Pawel J. Jastreboff) - это «слуховые ощущения, являющиеся исключительно результатом активности нервной системы и не связанные с механическими и колебательными процессами в улитке».
В тоже время существует проблема "шум в ушах"...
"Согласно методическим рекомендациям «Шум в ушах», разработанным Российской Национальной медицинской ассоциацией оториноларингологов на основе материалов 3-го Международного конгресса «Восстановительная медицина и реабилитация 2006», шум в ушах (тиннитус) встречается достаточно часто: по данным некоторых авторов до 35-45% взрослых людей слышат шум время от времени, 8% испытывают постоянный шум, а 1% приходится страдать от шума, мешающего в повседневной жизни" (конец цитаты)...

Конечно, НОТНАЯ запись музыкальных произведений вообще никак не соответствует математическим записям (формулам), что и породило интерес к изучению музыкального звукоряда, музкальных аккордов и гармоничных со-ОТНОШЕНИЙ между ними.
В Большой Науке это известный "спор о струне" - научная дискуссия, развернувшаяся ещё в XVIII веке между крупнейшими учёными того времени вокруг изучения колебаний струны.
Но ведь различные ЗВУКИ могут воспроизводиться не только струнными инструментами, но и ДУХОВЫМИ, а так же "ударными"!
Например, барабанами или колоколами...
"Азбуку Морзе" тоже ведь сначала ИЗУЧАЮТ в специальных школах?!! А передавать ИНФОРМАЦИЮ (закодированные сообщения) с помощью этих СИГНАЛОВ (сигнатур по-научному) можно не только "звуком", но и ГРАФИЧЕСКИ (на телеграфной ленте), письменно (собственноручно) или даже направленным световым лучом!

[Rados]

И сколько мерок в линии?

В топологии принято урысоновское определение: "Любой граф - это ОДНОмерная фигура" (1D).
Графически - это линия, которая имеет только ДЛИНУ. Мнимая линия - это траектория движения точки "из одной точки в другую" (длина пути).
Линии бывают кривыми или прямыми, но никакой другой МЕРЫ (кроме длины) у линий не существует!
В мызыкальном звукоряде это ИНТЕРВАЛЫ, а в графическом отображении - длина пути (рас-стояние) от одной ноты до другой.

[Rados]

Колебания деформации инструмента?

Очевидно что ДА, то есть звук ПРОИЗВОДИТСЯ колебанием инструмента (или голосовыми связками). а ВОСПРИНИМАЕТСЯ на определённом расстоянии т.н. "перепонками" в ушах и ОТОБРАЖАЕТСЯ в нервной системе (в голове слушателя) как вполне определённый СИГНАЛ.
Аналогично мы отобразили ГРАФИЧЕСКИ две октавы звукоряда и посчитали количество интервалом между вполне определёнными ТОЧКАМИ (нотами).
Соотношение суммы интервалов "по прямой линии" получилось ровно из СЕМИ единиц, а "по дуге полуокружности" - из ОДИННАДЦАТИ таких же единиц.
Что и соответствует ТОЧНОМУ соотношению длины окружности к диаметру этой же окружности - В НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ = 22/7 - без перевода этого коэффициента в десятичную дробь...

[Гость]

Какое минимально может существовать количество единиц?

Минимальное КОЛИЧЕСТВО - это и есть ЕДИНИЦА!
Отстутствие единиц - это "пустое место" (ничто, ноль целых единиц). Сравните с "количеством единиц" на бухгалтерских счётах при наборе числа "десять"!
ВЫ этого не улышали, но тоже ПОНЯЛИ, так ведь?

Нет, не понятно. Одного ничего не слышно.
Да и просхождение слова "количество" довольно запутано. Слово "лик" известное, и говорит о различиях одного с разных сторон.
Пустое место существует? А интевал тогда что, не пустое место?

[Гость]

Колебания деформации инструмента?

Очевидно что ДА, то есть звук ПРОИЗВОДИТСЯ колебанием инструмента (или голосовыми связками). а ВОСПРИНИМАЕТСЯ на определённом расстоянии т.н. "перепонками" в ушах и ОТОБРАЖАЕТСЯ в нервной системе (в голове слушателя) как вполне определённый СИГНАЛ.
Аналогично мы отобразили ГРАФИЧЕСКИ две октавы звукоряда и посчитали количество интервалом между вполне определёнными ТОЧКАМИ (нотами).
Соотношение суммы интервалов "по прямой линии" получилось ровно из СЕМИ единиц, а "по дуге полуокружности" - из ОДИННАДЦАТИ таких же единиц.
Что и соответствует ТОЧНОМУ соотношению длины окружности к диаметру этой же окружности - В НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ = 22/7 - без перевода этого коэффициента в десятичную дробь...

А голосовые связки что, сигнал не посылают в головной мозг? Так воздействие на механорецепторы тканей по-соседству (на стенки сосудов, например, и др.), связано с количеством окружающих тканей, а деформация самой ткани с ее клеточным, а далее молеклярным строением, наконец звуковое воздействие непосредственно на вещество (атомы и то, что между ними). Где 22? Какая такая дуга? Из чего дуга? Пять клавишь черных, семь белых. 12 клавишь всего. Две разные клавиши. Звук, в т.ч. музыкальный, передается на кожу, мышцы, кости черепа и все, что в нем. На ядра клеток, хромосомы... Молекулы ДНК. Углерод, водород, азот... Где 22?

[Rados]

Пустое место существует? А интервал тогда что, не пустое место?

ХОРОШИЙ ВОПРОС!
Именно "с топо-ЛОГИЧЕСКОЙ" точки зрения, а не с догматической...
Только в МУЗЫКЕ под "пустотой" имеется в виду ПАУЗА между звуками, а в геометрии - расстояние МЕЖДУ (пространство, не занятое другими точками).
Ко-ЛИЧЕ-ство подразумевает на-ЛИЧИЕ чего-ТО, от-ЛИЧ-ного от "пустоты".
Если точку обо-ЗНАЧ-ить ГРАФИЧЕСКИ (на бумаге), то по евклидовской аксиоматике этот объект "не имеет измерений", но (по Хаусдорфу) ОКРУЖЁН пустым множеством. В графическом отображении это и есть "фон" - отсутствие других точек на БЕЛОМ ЛИСТЕ бумаги!
На школьной доске (мелом) точка рисуется в виде "кружочка", но математически она тоже "не имеет МЕРЫ" (длины), так ведь?!
Но на белом фоне (на белой стене, например) другим "наблюдателям" не будет ВИДНО (визуально) ни только никакой точки (0D), но даже ни одной линии (1D)... Нульмерная (белая) точка на фоне ЧЁРНОЙ доски - это уже ЕДИНИЦА счёта, но без указания ВЕЛИЧИНЫ (меры), а сама доска при этом "выполняет роль" ПУСТОГО МНОЖЕСТВА - сплошные "чёрные квадратики" на поверхности доски, которые в декартовой системе координат можно "представить себе мысленно" - как чистые (пустые) листы в школьной тетрадке "по арифметике"... Это тоже как бы ФОН, на котором можно рисовать всякие линии (1D).
На экране монитора (здесь и сейчас) тоже ЕСТЬ "пустоты" МЕЖДУ точками (белый фон) и между БУКВАМИ, при этом все точки ОДИНАКОВЫЕ. а буквы - раз-ЛИЧ-ные (по форме и значению)... Так же и ЦИФРЫ ... И примерно так же НОТЫ. которые разделяются МЕЖДУ собой ПАУЗАМИ.
Наример, интервал "прима" - это одна и та же нота (по величине частоты), а МЕЖДУ двумя отдельными звуками (до-до) есть временной промежуток ПАУЗЫ! Если такого промежутка нет, то звук "до" будет НЕПРЕРЫВНЫМ...

Такие "пустые промежутки" МЕЖДУ точками и линиями МЫ ВОСПРИНИМАЕМ визуально (глазами), а промежутки между звуками (паузы) - ушами!

[Rados]

Где 22? Какая такая дуга? Из чего дуга?

На схеме помечены ГРАФИЧЕСКИ (цифрами) - ровно 11 штук ЧАСТЕЙ полуокружности (дуг). Эти дуги имеют только одно измерение - ДЛИНУ!
Но величина (мера) единиц измерения при этом тоже "не имеет значения", а посчитать КОЛИЧЕСТВО таких ЧАСТЕЙ можно даже "на пальцах" = 11 штук!
МЕЖДУ двенадцатью различными звуками в октаве тоже получается всего 11 полутонов.
А в ДВУХ полуокружностях со-ДЕРЖИТСЯ ровно 22 одинаковых дуги. При этом на линии диаметра этой окружности помещается ровно 7 (семь) таких же "модулей", состоящих из двух половинок единичных дуг...
Что и требовалось ПОКАЗАТЬ ГРАФИЧЕСКИ, чтобы сравнить музыкальный звукоряд с длиной окружности, состоящих из 22 частей (одинаковых полудуг).
При этом подсчитывается (сравнивается) только КОЛИЧЕСТВО целых единиц (штук), то есть как со-отношение НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, а не "дробей в десятичной записи".

"Кто не верит - пусть проверит" (в натуре)!
За "единицы счёта" можно принять одинаковые МОНЕТЫ.
Тогда количество рублей, выложеных "по кругу" будет = 22, а количество рублей, выложенных по диаметру = 7.
При этом делить "рубли на копейки" нет необходимости, но точно такой же "фокус" можно ПОКАЗАТЬ с помощью одинаковых копеек или пятаков!

[Rados]

Ещё проще ПОНЯТЬ (или пояснить?) разницу МЕЖДУ длиной (1D) и точкой (0D) легко на примере "рукопожатия".
Например, ТРИ гражданина стоят в одном ряду, взявшись за руки!
Всего КОЛИЧЕСТВО рук = 6. При этом "узлов связи МЕЖДУ ними" = 2.
Если N - это число у-ЧАСТЬ-ников этого ряда, то число узлов (рукопожатий) n = N - 1, так ведь?
При этом N "не равно нулю"!
А если эти граждане ЗАМКНУТ круг (лицом к центру), то получится как бы "хоровод" из N участников!
При этом число связей станет n = N (штук)...
ВЕЛИЧИНА каждого такого участника принимается за ЕДИНИЦУ, независимо от его личных свойств (длины рук, роста, возраста, пола, цвета кожи и тд и тп).

Вооот! Именно этим и занимается ТОПО-логия или как её сейчас ещё называют официально - "дискретная математика"!
А практическое применение (использованием) этих методов ИССЛЕДОВАНИЯ "узлов и линий связи" давно же ИЗВЕСТНО в такой СФЕРЕ деятельности как КИБЕРНЕТИКА... Но если раньше такие линии (графы), точки и другие ФИГУРЫ рисовались ВРУЧНУЮ (с помощью циркуля и линейки), то сейчас для этого используются КОМПЬЮТЕРЫ, которые раньше назывались просто "вы-ЧИСЛИТЕЛЬ-ными машинами", а сейчас являются ещё и "инструментами с ЧИСЛОВЫМ программным обеспечением" - для выполнения ГРАФИЧЕСКИХ построений "в виртуальном пространстве"...

[Гость]

Ещё проще ПОНЯТЬ (или пояснить?) разницу МЕЖДУ длиной (1D) и точкой (0D) легко на примере "рукопожатия".
Например, ТРИ гражданина стоят в одном ряду, взявшись за руки!
Всего КОЛИЧЕСТВО рук = 6. При этом "узлов связи МЕЖДУ ними" = 2.
Если N - это число у-ЧАСТЬ-ников этого ряда, то число узлов (рукопожатий) n = N - 1, так ведь?
При этом N "не равно нулю"!
А если эти граждане ЗАМКНУТ круг (лицом к центру), то получится как бы "хоровод" из N участников!
При этом число связей станет n = N (штук)...
ВЕЛИЧИНА каждого такого участника принимается за ЕДИНИЦУ, независимо от его личных свойств (длины рук, роста, возраста, пола, цвета кожи и тд и тп).

Например, 24 клавиши (12+12 ) расположены в одном ряду, прилегая друг к другу боковыми сторонами. Всего количество боковых сторон 24х2=48. При этом "узлов связи" между ними = 47. А если ЗАМКНУТЬ круг (передней стороной к центру), то получится, как бы "колесо" из 48 клавишь. При этом число связей станет 48.
22 никак не получается!
Например, 7 клавишь расположены в одном ряду, прилегая друг к другу боковыми сторонами. Всего количество боковых сторон 7х2=14. При этом "узлов связи" между ними = 13.
А если ЗАМКНУТЬ круг (передней стороной к центру), то получится, как бы "колесо" из 7 клавишь. При этом число связей станет 14.
22 никак не получается!
Например, 12 клавишь расположены в одном ряду, прилегая друг к другу боковыми сторонами. Всего количество боковых сторон 12х2=24. При этом "узлов связи" между ними = 23.
А если ЗАМКНУТЬ круг (передней стороной к центру), то получится, как бы "колесо" из 12 клавишь. При этом число связей станет 24
22 никак не получается!
Откуда замкнуть 11+11? Где 22? Почему 22?

... МЕЖДУ двенадцатью различными звуками в октаве тоже получается всего 11 полутонов.
А в ДВУХ полуокружностях со-ДЕРЖИТСЯ ровно 22 одинаковых дуги. При этом на линии диаметра этой окружности помещается ровно 7 (семь) таких же "модулей", состоящих из двух половинок единичных дуг...

Это в незамкнутых двух полуокружностях. При соединении 1 добавляется и при замыкании соединенных полукругов 1. Соединение от замыкания не отличается. Получается 24 и 8.
Остаток 1:7= 0,142857142857...
Такой остаток при делении 365 дней на 7 дней недели получается, 365:7=52.142857142857..., что об окружности орбиты не говорит. Так и 5 клавишь и 2 можно найти и вообще для каждого дня тон, полутон и интервалы сочинить. 24 часа в сутках.
Откуда 22 и почему? 22 нигде нет. Ни в днях недели, ни в часах, ни в интервалах, ни в окружности. Зачем оно?

[Rados]

Откуда 22 и почему? 22 нигде нет

Если считать в ДЕСЯТИЧНОЙ системе (как на бухгалтерских счётах) то число "двадцать два" - это ДВА полных десятка + две ЦЕЛЫХ единицы.
А если перевести в "семиричную" (натуральную) систему, то это же КОЛИЧЕСТВО единиц представляется как ТРИ ГРУППЫ по семь штук + одна целая единица! Группа из семи единиц В РЯД это семь основных нот (C-D-E-F-G-A-B), а восьмая повторят первую (C в следующей группе).
На схеме этот РЯД представлен отрезком, состоящим из 7 единиц, каждая из которых = d. Сумма этих единиц составляет диаметр, на который "опирается" (замыкается) полуокружность из 11 таких же единиц = d. Если подставить вместо одиннадцати всего десять таких единиц, то замыкания не получается. А если подставить двенадцать, то одна единица будет лишней, то есть как бы "выскакиевает" в другую группу ( или переходит в другую октаву).
При этом со-ОТНОШЕНИЕ количества единиц = 11 (штук) к количеству единиц В ГРУППЕ = 7 (штук) - это не "результат деления 11 : 7, а именно со-ОТНОШЕНИЕ = 11/7 - без перевода в десятичную ДРОБЬ... Другими словами, это не натуральное число, а именно ПОСТОЯННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ (пропорция), который не зависит от ВЕЛИЧИНЫ каждой единицы.
При удвоении числа единиц ПОЛУ-окружности получается ЗАМКНУТАЯ окружность из 22 единиц, то есть натуральное ЧЁТНОЕ число!

Теперь предположим, что ТРЕБУЕТСЯ разделить этот МОДУЛЬ, принятый за единицу = d, на более мелкие части.
Например на 10 частей!
Получим соотношение 220/70.
При этом ГРУППА будет состоять их 7х10 единиц (в одном ряду), а окружность - из ТРЁХ таких же груп + ещё одна группа из десяти единиц!
220 = 3х70 + 10
В общем виде это можно записать как [tex]\pi[/tex] = 3n + n/7, при n больше или равно 1.

[Rados]

остаток при делении 365 дней на 7 дней недели

ХОРОШИЙ ВОПРОС!!!
Действительно, в данном случае ДЕЛЕНИЕ на 7 без остатка не получается!
Число 365 можно разложить на 52 группы (недели) по 7 суток + 1 сутки.
Очевидно, что орбита обращения Земли вокруг Солнца не является ЗАМКНУТОЙ окружностью "в евклидовском смысле".
Откуда тогда "взялось" число СЕМЬ во всех известных календарях?!
Этот вопрос стоит рассмотреть в отдельной теме: "Связь календарного исчисления с ГЕО-метрией"...

"Семь фаз Луны" это тоже НАТУРАЛЬНОЕ нечётное число = 7.
А ДЕЛЕНИЕ окружности на 360 градусов не соответствует ГОДОВОМУ количеству суток = 365.
Очевидно в древнем Египте была принята ШЕСТИДЕСЯТИРИЧНАЯ система вычисления солнечного года:
365 = 60х6 + 60/12
То есть, лунный календарь и солнечный круг не являются "математически ТОЧНЫМИ измерениями ВРЕМЕНИ"!!!
Но ГЕО-метрически, семь окружностей составляют ЕДИНУЮ компактную группу на плоскости 2D - см. задачку "про восьмую банку в бочке"...
И это тоже НЕ ЗАВИСИТ от величины этих окружностей, потому что сама окружность и является натуральной ЕДИНИЦЕЙ в этой группе!
А цифры в данном случае являются просто НОМЕРАМИ, а не показателями КОЛИЧЕСТВА (штук) или величины (МЕРЫ) каждой отдельной "штуковины"...

[Гость]

Но ГЕО-метрически, семь окружностей составляют ЕДИНУЮ компактную группу на плоскости 2D - см. задачку "про восьмую банку в бочке"...
И это тоже НЕ ЗАВИСИТ от величины этих окружностей, потому что сама окружность и является натуральной ЕДИНИЦЕЙ в этой группе!
А цифры в данном случае являются просто НОМЕРАМИ, а не показателями КОЛИЧЕСТВА (штук) или величины (МЕРЫ) каждой отдельной "штуковины"...

Так, выходит, что сама натуральная единица - область иллюзий. Во-первых, соотношение ее длины и диаметра кажется достигнутым, а на самом деле этого нет. Во-вторых, расстояние между окружностями в микроскопических масштабах не одинаково. В третьих, сама плоскость не видна. Нарисовать можно и 6 и 12 окружностей вокруг и 5 в диаметре и 3. Соотношение размеров и расстояний между окружностями в диаметре и вокруг разное, но разьве оно может быть одинаковым? Все звуки разные. Если поделить эти числа на очень маленькие части, это не говоит, что части одинаковые. Тогда возможно ли достижение четных чисел в музыке, например 22, 8? Музыкальные звуки - иллюзии?

одинаквые окружности1.jpg (50.5 КБ) Просмотров: 65

[Rados]

Вопрос "о связи музыки с геометрией" всегда упирается именно в со-отношение НАТУРАЛЬНЫХ чисел, а не в измерение ДЛИН (окружности и диметра).
Количество нот (по названию), очевидно, было ПРИНЯТО НЕ ЗРЯ = 7, а октава - это уже ВОСЬМАЯ нота в гамме, которая "по звучанию" совпадается с первой (начальной) нотой. При этом переход от СИ к ДО в обратном порядке содержит 6 интервалов!
Куда "девается" ещё одна ЕДИНИЦА?!!
А никуда "не девается"!
Из двенадцати полутонов, выстроенных В РЯД, две половинки полутонов просто СОЕДИНЯЮТСЯ в один полутон - при замыкании "концов" звукоряда. и получается, что в ДВУХ октавах остаётся именно 22 интервала - как удвоение количества дуг полуокружности 2 х 11 = 10 + 12.

У Архимеда было предположение, что "число [tex]\pi[/tex]" МОЖНО выразить обычной "дробью" = 22/7. Но при увеличении числа СТОРОН МНОГОУГОЛЬНИКА древние греки считали не количество дуг и частей диаметра, а количество ХОРД многоугольника. И в результате у Архимеда получилось соотношение = 3 + 10/71. То есть, у него в диаметре появилась лишняя (мнимая?) единица... Если эта единица тоже "выпадает" при замыкании соседних ДУГ, то это соответствует условиям НЕПРЕРЫВНОСТИ длины ОКРУЖНОСТИ (без изломов)... 3 + 10/70 = 22/7.
Графически это показано на следующей схеме:
Если две соседние окружности соединяются концами диаметров, то они выстраиваются В ЛИНИЮ, а если концы этой линии соединить, то тогда окружности будут соединяться концами ХОРД, а концы малых диаметров РАЗРЫВАЮТСЯ... Что противоречит определению непрерывности большой окружности! На самом деле диаметр тоже ИЗГИБАЕТСЯ, не меняя своей длины! И тогда большая окружность проходит через точки соединения малых окружностей и через их центры... Все малые окружности у нас ОДИНАКОВЫЕ по размеру, а через три точки можно провести только ОДНУ окружность, длина которой будет состоять тоже из 22 одинаковых дуг...

Для наглядности "изгиба малых диаметров" за единицу примем 1/4 часть большого катета Египетского треугольника со сторонами 3, 4, 5 (бз указания единиц измерения). Добавив к гипотенузе ещё две единицы получаем диаметр, состоящий из 7 малых диаметров, выстроеных в одну линию. Полуокружность образуется из 11 дуг такой же длины, а полная окружность - из 22 таких же дуг!
Соотношение НАТУРАЛЬНЫХ чисел 22/7 даёт ТОЧНОЕ количественное соотношение (постоянный коэффициент) для ЛЮБОЙ окружности. А перевод этого коэффициента в число десятичной дробью превращает "число [tex]\pi[/tex]" в ЦИКЛИЧЕСКОЕ... То есть, вычисление "трансцендентности" этого НАТУРАЛЬНОГО коэффициента - просто бессмысленная трата времени!