Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Вс май 17, 2020 10:52 pm

Во-первых, следует понять, ЧТО в Математике подразумевается под терминами «простое» и «натуральное» ЧИСЛО. Само понятие «натура» в русском языке имеет более десятка синонимов. И чтобы не вдаваться «в дебри филологии и лингвистики», определимся общепринятым значением СУЩНОСТЬ = ТО, что существует независимо от какой-либо «абстракции» и уже известно обычному Человеку.
Натуральные числа (от лат. naturalis «естественный») — числа, возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, . и тд... Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом. Отрицательные и нецелые числа к натуральным не относят.
Просто́е число́ — натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Другими словами, число N является простым, если оно больше 1 и при этом делится без остатка только 1 на и на N К примеру, 5 – это простое число, а 6 не является простым числом, так как, помимо 1 и 6 , также делится на 2 и на 3.
Проще говоря, сами по себе ЦИФРЫ никаких свойств и величин, существующих в натуре, не обозначают. А служат только для различных арифметических операций: простого перечисления (счёта), сложения - вычитания, перемножения – деления … а так же для со-отношения (сравнения) количества «штук», чтобы сравнивать большее число с меньшим.
В отличие от количества величина определяется МЕРОЙ, то есть размером конкретной единицы счёта. Если какое-то число указывается без «единицы измерения», то подразумевается именно штучное количество, а не величина отдельной «штуковины»…
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Вс май 17, 2020 10:56 pm

В топологии рассматривается прежде всего РАСПОЛОЖЕНИЕ отдельных геометрических «штучек» (объектов, фигур) относительно других геометрических объектов, а так же СВЯЗИ МЕЖДУ НИМИ в окружающем пространстве.
Чтобы снова не вдаваться «в дебри математических абстракций пустоты и бесконечности», ограничимся первым десятком натуральных чисел от «простой» единицы до 11. Для наглядности обратимся к общеизвестным изображениям: точка, линия и цвет (см. схему):
Отсутствие каких либо точек и линий отображается простым белым ФОНОМ, в математике это называется «нульмерным» (не имеющим определяемого количества) пространством.
Первой «штучкой», которая может появиться на белом фоне, будет естественно какая-то НАЧАЛЬНАЯ ТОЧКА. На схеме мы её обозначили маааааленьким красным кружочком и подставили к ней цифру О, чтобы она обозначала начало. Но так как сама по себе точка никакого размера не предусматривает дадим её определённую МЕРУ пространства – как модуль. Графически это будет выглядеть как ОКРУЖНОСТЬ с наименьшим диаметром = 1, И тогда этим МОДУЛЕМ можно будет со-измерять другие объекты на этой схеме.
В отличие от точки ЛИНИЯ имеет вполне определённый размер – длину. Из точки О проведёт горизонтальную прямую линию чёрного цвета и сделаем на ней отметки расстояния, последовательно присоединяя к начальной окружности точно такие же «модули =1». А центры этих окружностей дадут нам отметки на чёрной линии. Пятую отметку обозначим двумя цифрами 1 и 0 – это и будет ПЕРВЫЙ десяток нашей десятичной системы счёта!
Здесь мы уже видим, что число «десять» не является ПРОСТЫМ числом, так как составлено из пяти «двоек» - геометрических РАДИУСОВ, из которых состоит наш «минимальный МОДУЛЬ» - диаметр (1d) единичной окружности. Можно было обозначить эту «десятку» римской цифрой Х, но чтобы не путать простые числа с «иксами» будет обозначить все числа арабскими цифрами. И тогда можно считать линейный размер (длину) чёрной линии = 5 .
Вложения
КОЛО 22_7.jpg
КОЛО 22_7.jpg (71.02 КБ) Просмотров: 3345
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Вс май 17, 2020 10:58 pm

Следующие действие сделаем обычным циркулем! Построим на базе этой линии = 5 т.н. «египетский» треугольник: Из начальной точки О отмерим радиус = 4 и прочертим красную дугу, а из точки 10 отмерим радиус = 3 и прочертим синюю дугу. Пересечение этих двух дуг даёт нам ещё одну красную точку. Со-единяем эту точку с начальной точкой О красной линией, а с концевой точкой чёрной линии – синией линией. В результате у нас получилась фигура из ТРЁХ прямых отрезков, которая в геометрии известна как «египетский» треугольник со сторонами 3 + 4 + 5 = 12 модулей. Здесь надо заметить, что ОТРЕЗКИ на чёрной линии обозначены (отмечены) не «нульмерными точками» (как номерами по порядку) , а ЛИНЕЙНЫМИ единицами! Длина отрезка «от центра до центра» - это как раз принятый нами РАЗ-МЕР (модуль) = 1d. Длина самой этой единичной окружности в измерениях отрезков НЕ УЧАСТВУЕТ! Поэтому синяя цифра 4 просто ПОКАЗЫВАЕТ длину синей линии по отношению к длине чёрной линии. Фактические расстояния (интервалы) надо считать количеством модулей. Например, от точки 10 до точки 4 интервал равен 10 – 4 = 6, что соответствует сумме трёх единичных диаметров (модулей), от 4 до 0 такой интервал соответствует двум диаметрам. Таким образом общая длина чёрной линии треугольника равна 5 единичным диаметрам = простому натуральному числу «пять»…
На красной линии продолжим такую же разметку, то только до числа 7, так же отмечая красными точками количество модулей центрами единичных окружностей. Следующее ПОРЯДКОВОЕ число 8 не является простым, поэтому будем считать «семёрку» ДОСТАТОЧНЫМ количество простых однозначных чисел в первой десятке натуральных чисел.
Теперь соединим точки 0 и 7 одной СПЛОШНОЙ фиолетовой линией по дуге с радиусом равным половине красной линии. Для этого находим середину отрезка 0 – 7 и отмечаем её как точку соединения двух соседних линейных модулей. В пересчёте на количество единичных радиусов это соответствует r = 7, что и показано фиолетовыми стрелками на красной и чёрной линиях. В результате мы получили ПОЛУокружность с диаметром D = 7 красным отрезкам красной линии. При этом D = 2R, где R = 7r, то есть все наши построения основаны на ПРОСТЫХ числах первого десятка натуральных чисел! Обозначение этих чисел «арабскими цифрами» сделано просто в качестве ОБЩЕПРИНЯТОГО обозначения чисел в современной Математике, а количество линейных отрезков можно ПЕРЕСЧИТАТЬ даже устно … или просто пальцем, называя их «имена» на любом другом языке! Например, как «ein- zwein-drei-fier-funf-sechs-sieben-acht-nein-zein» или обозначая буквами латинского алфавита А-В-С-D-E-F-G-H как ряды на шахматной доске.
Вложения
КОЛО 22_7.jpg
КОЛО 22_7.jpg (71.02 КБ) Просмотров: 3344
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Вс май 17, 2020 11:00 pm

Аналогично разметим полученную фиолетовую линию, но в отличие от прямой линии покажем точки соединения не по центрам единичных окружностей, а как точки со-единения этих единичных модулей – фиолетовыми точками на фиолетовой линии. Пересчитаем количество точек - их будет 11 штук. А отрезков (единичных дуг) между – всего 10. Чтобы замкнуть эту полуокружность на красном диаметре нужно просто добавить две половинки по краям этой дуги, и получится ЗАМКНУТАЯ линия, состоящая из 11 фиолетовых дуг полуокружности и 7 красных отрезков точно такой же единичной длины. Полная окружность будет равна 22, а соотношение длины всей окружности к диаметру показывает соотношение натуральных чисел 22/7… Если перевести это соотношение в обычную дробь, то получится число 3 + 1/7, то есть так же НАТУРАЛЬНОЕ число, составленное из простых натуральных чисел. Это число в математике называется ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМ ЧИСЛОМ «ПИ», которое в переводе на десятичную систему счёта записывается как 3,14 (три целых и четырнадцать сотых). А современные калькуляторы транслируют это соотношение как «бесконечное» чередование цифр = 3,142857142857142857 … как бесконечный ЦИКЛ десятичной дроби. В обычной инженерной деятельности достаточно использовать всего лишь ДВЕ цифры после запятой.
Вложения
ОКОЛО 11_7..jpg
ОКОЛО 11_7..jpg (245.11 КБ) Просмотров: 3343
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Вс май 17, 2020 11:07 pm

Но наглядное представление о СУЩЕСТВЕННОСТИ (натуральности и естественности) этого линейного коэффициента как соотношения длин даёт только ГРАФИЧЕСКОЕ отображение этих циклов – как периодическое пересечение единичных полуокружностей в виде замкнутой линии (синусоиды) с замкнутой линией, состоящей из суммы отрезков полуокружности и диаметра. Это показано на следующей схеме, в которой дополнительно разложены чётные и нечётные натуральные числа – для подсчёта количества периодов в одном общем цикле. Аналогичное ГРАФИЧЕСКОЕ построение было выполнено для распределения полутонов в двух музыкальных октавах в качестве доказательства СУЩЕСТВЕННОСТИ натурального ряда чисел не только в Математике, но и в Музыке, которая имеет в своём «происхождении» точно такое же соотношение количества интервалов (полутонов) в двух октавах = 22 и простого числа нот в музыкальном звукоряде = 7.
Таким образом топо-ЛОГИЯ выявляет и показывает ГРАФИЧЕСКИ природную связь и гармоническую закономерность Математики и Музыки,
Некоторые из многих «лириков» называют ЭТО просто – Музыкой СФЕР, потому что ЗВУК – это одно из природных явлений, производимым и воспринимаемым Человеком непосредственно собственными органами чувств, и в том числе – неким «коллективным разумом» в отличие от устной речи или графической письменности на разных языках…

(продолжение следует)
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Вс май 17, 2020 11:23 pm

Графически музыкальный звукоряд точно соответствует вышеприведённым геометрическим построениям.
Но РАЗНООБРАЗИЕ музыкальных ПРОИЗВЕДЕНИЙ обусловлено не только этой "геометрией".
Более существенным (натуральным и естественным) является непосредственное восприятие "музыки сфер" в исполнении профессиональных музыкантов (под управлением дирижёра) сложнейших "комбинаций из простых семи нот"...
Такое взаимодействие невозможно заменить никаким "искусственным воспроизведением" ГАРМОНИИ даже с помощью СУПЕР-современных компьютерных машин... Поэтому во все времена Великие Композиторы и исполнители считались ГЕНИЯМИ, независимо от их математического образования. А Математика (и топология в том числе) даёт только ОБЩЕЕ понятие о соотношении "простых" чисел, невидимых СВЯЗЕЙ между ними и интервалами между отдельными нотами!
Вложения
Pi-muson.jpg
Pi-muson.jpg (113.47 КБ) Просмотров: 3338
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Вт май 19, 2020 11:19 pm

В натуральном (гармоническом?) ряде простых ЦЕЛЫХ "нот" всего семь штук, а восьмая переходит в другую октаву и является первой нотой второй октавы.
Если считать ноты "в обратную сторону", то получается тоже самое (до - до), но интервалов между нотами так же семь штук!
На следующей схеме показываем только точки (ноты как координаты без величины) и соединяем их равными интервалами.
В топологии замкнутая линия гомеоморна окружности, поэтому убираем "египетский" треугольник и нумеруем "арабскими" цифрами точки на окружности и точки на красной линии. И тогда такая схема даёт нам более наглядное представление о КОЛИЧЕСТВЕ натуральных чисел (дуг) на которые делится длина окружности.
Каждый любознательный читатель может это сделать "без подсказки"!
Вложения
чётность-нечётность 22-1.jpg
чётность-нечётность 22-1.jpg (68.62 КБ) Просмотров: 3305
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Ср май 20, 2020 10:05 am

наглядное представление о КОЛИЧЕСТВЕ натуральных чисел (дуг) на которые делится длина окружности.

Как видно на сэтой схеме .... "невооружённым глазом" ... соотношения ДЛИН окружности к ДЛИНАМ диаметров выражаются ВСЕГДА "простыми сотношением" НАТУРАЛЬНЫХ чисел 22/7.
Но это только в том СЛУЧАЕ, если длина окружности - это ЗАМКНУТАЯ линия (1D), а точка не имеет НИКАКОГО измерения (0D)!
Если эта аксиома "кем-то" ОСПАРИВАЕТСЯ, то это вовсем не значит, что "так ОНО и есть на самом деле" (в натуре)!
То есть, на этом ЭТАПЕ рассмотрения топологических свойств НАТУРАЛЬНЫХ чисел, МЫ показали только ЛИНЕЙНЫЕ соотношения раз-МЕРОВ, при этом не используя никаких "единиц измерения"... Как это и требовалось от Древних ГЕОметров - "циркулем и линейкой"!

Теперь есть смысл перейти к соотношениям "другого порядка" - в ДВА ДЭ (2D).
Представим, что существуют ДВЕ таких же ОДИНАКОВЫХ по форме и величине СИСТЕМЫ (окружности из 22 частей и диаметра из 7 частей)!
Есть ли между ними какая-то СВЯЗЬ и КАК они могут быть СОСТАВЛЕНЫ "вместе" (как СУММА двух систем):
Вложения
чётность-нечётность 07-815.jpg
чётность-нечётность 07-815.jpg (80.34 КБ) Просмотров: 3303
чётность-нечётность.jpg
чётность-нечётность.jpg (83.09 КБ) Просмотров: 3303
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Ср май 20, 2020 10:18 am

Соотношения ВНУТРИ каждой из этих системы (совокупности линий) МЫ уже определили "числом [tex]\pi[/tex]"
А площадь - как количество единиц ИЗМЕРЕНИЯ ПЛОЩАДИ (2D) - каждой из этих РАВНЫХ по площади фигур примем = 1.
Множество таких КРУГОВ может быть либо упорядоченным множеством, либо "просто ХАОТИЧНЫМ" (беспорядочным).
Количество ОДИНАКОВЫХ единиц можно различать не только по форме и величине, но и ПО ЦВЕТУ, например!
При этом все такие РАВНОВЕЛИКИЕ единицы ДОЛЖНЫ быть связаны между собой, тогда это и будет называться СИСТЕМОЙ.
Вложения
5 sfer.jpg
5 sfer.jpg (60.44 КБ) Просмотров: 3303
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Ср май 20, 2020 10:40 am

В математике ЕСТЬ ТАКОЕ ПОНЯТИЕ - "плотность множества"?
Под этим подразумевается, что МЕЖДУ отдельным составным частями множества СУЩЕСТВУЮТ некие "пустоты", которые не являются компонентнами ЭТОГО множества, но при этом НЕ РАЗДЕЛЯЮТ (не рассекают и не отделяют) эту систему на отдельные части.
И такие "пустоты" ЕСТЬ ВЕЗДЕ.
В топологии, например, таким "пустым множеством" (нульмерным пространством) может являться "никакой цвет", например белый фон листа бумаги, или чёрный фон обычной ШКОЛЬНОЙ доски, на которой показываются всякие линии белым мелом!
И здесь МЫ тоже видим "невооружённым глазом", что представить СЕМЬ единиц "вокруг нуля" можно не только "кружочками", но и КВАДРАТНЫМИ "единицами площади":
При этом каждая такая "нульмерная пустота" (белый квадратик) появляется ПЕРИОДИЧЕСКИ, но НЕ ДЕЛИТ всю систему "квадратиков" на отдельные группы.
Это как раз демострирует НАГЛЯДНО неделомость нуля и НЕВОЗМОЖНОСТЬ деления "на ноль"!
Вложения
70 sfer.jpg
70 sfer.jpg (94.21 КБ) Просмотров: 3303
6 цветов +0.jpg
6 цветов +0.jpg (57.3 КБ) Просмотров: 3303
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Ср май 20, 2020 11:41 am

Топо-ЛОГИЧЕСКИ представить разницу соотношений ЕДИНИЦ измерения ДЛИНЫ и ПЛОЩАДИ легко!
1 = 1
Это выражение "действует" только в отношении какого-то ЕДИНОГО пространства, то есть измерять ДЛИНУ "квадратными единицами" или количеством нульмерных точек - БЕЗСМЫСЛЕННО!
Замкнутая линия (1D) ОГРАНИЧИВАЕТ вполне определённую ПЛОЩАДЬ поверхности (2D).
А ДЛИНУ линии ЧТО ограничивает?
Очевидно, что её длину (1D) ограничивают (количественно) только ДВЕ крайние точки - начало и конец ЭТОЙ линии.
А окружность таких КРАЙНИХ точек НЕ ИМЕЕТ, потому что топологически ЛЮБАЯ замкнутая линия измеряется только "длиной пути" "из пункта А в пункт В".
И если "что-то движется" по ПРАВИЛЬНОЙ окружности в одном направлении (например ПО часовой стрелке), то пройдя путь ИЗ точки "А" ЧЕРЕЗ точку "В" линия непременно соединится "сама с собой" в точке "А", совершив таким образом 1 оборот вокруг "какой-то" точки "О", которая НЕ ЛЕЖИТ на замкнутой линии АВА. Но со-отношение ДЛИНЫ пути АВА к длине пути АОВ (по прямой линии) ВСЕГДА соответствует соотношению натуральных чисел 22/7.
А площадь КРУГА (2D), ограниченную ЭТОЙ линией (1D) можно "просто вычислить" по ФОРМУЛЕ S = D x D x [tex]\pi[/tex] : 4.
Но геометрически ТРИ одинаковых по величине КРУГА НЕ СОЕДИНЯЮТСЯ (не складываются плотно) - как прямолинейные ОДИНАКОВЫЕ квадраты!
Это тоже давно известная "аксиома топологии", показанная НАГЛЯДНО на примере т.н. "ковра Серпинского"!
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Ср май 20, 2020 4:24 pm

В общепринятом смысле ОБЪЁМ представляется как ПРОИЗВЕДЕНИЕ трёх ЛИНЕЙНЫХ со-множителей:
длина (1D) х на ширину (1D) х на высоту (1D) = X x Y x Z (3D).
Если какой-то из этих со-Множителей "равен нулю", то это алгебраическое выражение тоже "превращается в ноль" (0D) - то есть, в некую "абстрактную Величину", которую ПОКАЗАТЬ графически просто невозможно!
На самом деле (в нашем ТРЁХ-мерном Мире) так и есть "на самом деле" - ТОЧКА никаких размеров не имеет (0D)!
Если трёхмерный ШАР имеет "радиус равный нулю", то это "просто" МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТОЧКА (0D), но если радиусом ИЗМЕРЯЕТСЯ поверхность шара, то "принято считать", что площадь шаровой поверхности измеряется "квадратными"(???) радиусами с коэфициентом 4/3 х [tex]\pi[/tex].

А если такой ШАР сделать стеклянным (абсолютно прозрачным)?!!
Никаких "кубических" или "квадратных" РАДИУСОВ нам "в натуре" тоже ВИДНО не будет, а тем более ИЗМЕРИТЬ такие "невидимые величины" просто НЕЧЕМ - нет таких "циркулей и линеек"!!!
Тогда "просто" возьмите обыкновенный МЯЧИК и попробуйте ИЗМЕРИТЬ толщину СЛОЯ резины ... либо кожи ... либо ещё какого-нибудь МАТЕРИАЛА, из которого "кто-то" ИЗГОТОВИЛ такую замечательную МОДЕЛЬ "правильной" трёхмерной СФЕРЫ!
А "чисто теоретически" ОБЪЁМ этого материала (3D) будет РАВЕН именно произведению площади поверхности (2D) х на толщину слоя (1D) этого материального ОБЪЕКТА! Но такая 3D-СФЕРА составлена не из "кубиков", и не из "квадратиков"! И не обязательно для измерения такого ОБЪЕКТА искать какой-то РАДИУС внутри, чтобы применить ГОТОВУЮ ФОРМУЛУ для вычисления объёма этой такой ТРЁХ-мерной СФЕРЫ.
Алебраически Григорий Перельман это УЖЕ ДОКАЗАЛ - с помощью какой-то "системы дифференциальных уравнений в частных производных", так ведь?
И НИКТО с этим доказательством уже не спорит!
Представить НАГЛЯДНО разницу между КУБОМ и ТОРОМ можно даже на т.н. "проективной" плоскости (2D) - без всяких "единиц измерения" (условно).
А если "кому-то" ХОЧЕТСЯ посчитать КОЛИЧЕСТВО "трёхцветных кружочков" на этой ГРАФИЧЕСКОЙ СХЕМЕ, то это можно сделать даже БЕЗ ЦИФР (устно):
Вложения
кубическое кольцо.jpg
кубическое кольцо.jpg (77.08 КБ) Просмотров: 3296
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Ср май 20, 2020 4:50 pm

Чтобы СДЕЛАТЬ модель 3D-сферы, надо "просто" начертить ЧЕТЫРЕ выпуклых ТРЕугольника, перенести эту РАЗВЁРТУ СФЕРЫ на какую-нибудь МЯГКУЮ (гибкую) МАТЕРИЮ и сшить все вершины и рёбра этих МНОГО-угольников "простыми" нитками.
Потом напихать ВНУТЫРЬ этой 3D-сферы какого-нибудь ДРУГОГО материала (например, вату или куски паролона)... И получится именно ТАКОЕ "трёхмерное компактное многообразие без краёв", о котором говорил Анри Пуанкере ещё сто лет тому назад!!!
Впрочем, сам Гриша Перельман этого делать тоже не стал, потому что ему ИНТЕРЕСНЕЕ исследовать ГАРМОНИЮ СФЕР в музыке, а не заниматься "вышиванием мячиков" для обучения школьников СФЕРИЧЕСКОЙ геометрии ... ... "в натуре"... ;)
Вложения
Привет от Эшера.jpg
Привет от Эшера.jpg (100.84 КБ) Просмотров: 3296
развёртка сферы.jpg
развёртка сферы.jpg (169.09 КБ) Просмотров: 3296
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Пт май 22, 2020 3:48 pm

Некоторые математики приводят в качестве демонстрации различия ТРЁХ-мерной СФЕРЫ и ТОРА довольно странное "преобразование", в результате которого кружка с ручкой ПРЕВРАЩАЕТСЯ в бублик!
Но это абсолютно НЕВЕРНОЕ представление трёхмерности 3D-CФЕРЫ!!!
Поверхность такой кружки не является ЗАМКНУТОЙ поверхностью, а приделанная к этой поверхности "ручка" не является тором!

Если соединить с этой "ручкой" замкнутую линию (петлю), то её можно НЕ РАЗРЕЗАЯ вынуть из этой "ручки", потому что у петли и кольца нет "зацпления" как у колец в цепочке. В топологии даже есть раздел, определящийся термином "коэффициент зацепления":
"Для двух не пересекающихся друг с другом КОНТУРОВ в пространстве можно определить некоторое ЦЕЛОЕ ЧИСЛО, называемое "коэффициентом зацепления". Значит, если такие РАЗНЫЕ фигуры (кружка и приделанная к ней ручка) пересекаются, то такая ручка не является ЗАМКНУТЫМ "компактным односложным многообразием", то есть это НЕ ТОР...
Ручка - это ЧАСТЬ кружки, значит преобразование кружки в тор - НЕ КОРРЕКТНОЕ!
Вложения
104N-10.jpg
НЕКОРРЕКТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
104N-10.jpg (8.12 КБ) Просмотров: 3283
IMG_3650.jpg
IMG_3650.jpg (976.49 КБ) Просмотров: 3283
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Пт май 22, 2020 4:16 pm

А какое отношение "кружка с ручкой" имеет к "простоте натурального ряда ЧИСЕЛ"?
На этом примере можно сразу "сообразить", что ДВА разных ЧИСЛОВЫХ множества могут вообще НЕ ИМЕТЬ никаких "точек пересечения".
Если условно разделить ЛИНЕЙНУЮ числовую последовательность ВСЕХ натуральных чисел на чётные и нечётные, то в пространстве ДВА таких отдельных контура никаких ОБЩИХ точек не имеют. Так же как ДВА отдельных КОЛЬЦА, не имеющих никакого зацепления. Фактически (в материальном виде) также НЕ ВОЗМОЖНО РАЗДЕЛИТЬ два кольца (два тора или два отдельных конутура), если у них есть хотя бы ОДНО зацепление. В таком случае говорят, в коэффициент зацепления (но не пересечения) этих контуров = 1. Разделить такие ДВА конутра НЕ РАЗРЕЗАЯ одного из них - НЕ ВОЗМОЖНО.
Множество таких колец - это и есть ЦЕПОЧКА замкнутых фигру (блоков), которая является ОСНОВОЙ технологии block-chain, которая в настоящее время широко используется в компьютерном программировании для составления КОДОВ и алгоритмов.
Но топология такими ВЫЧИСЛЕНИЯМИ множеств не занимается.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Пт май 22, 2020 4:24 pm

А "на бытовом уровне" можно продемонстрировать довольно ПРОСТОЙ способ СВЯЗЫВАЕНИЯ двух замкнутых линий, например, ручки и петли.
Топологически эти два КОЛЬЦА не имеют никакого зацепления (коэффициент = 0), но УЗЕЛ на ручке закрепить в нужном положении МОЖНО!
Вложения
IMG_3648.jpg
IMG_3648.jpg (500.19 КБ) Просмотров: 3283
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Пт май 22, 2020 5:42 pm

Если такая же ВТОРАЯ кружка привязана ТАКИМ ЖЕ узлом за ручку этим же шнурком, то можно ли НЕ РАЗРЕЗАЯ ШНУРКА отвязать первую кружку от второй?
Для простоты определения такой возможности даём более наглядный пример:
ДВА кольца СВЯЗАНЫ одной гибкой сплошной ЗАМКНУТОЙ линией - как бы окружностью, если не учитывать её толщину.
Между этими ДВУМЯ кольцами расположено ТРЕТЬЕ кольцо, которое этим с этим шнурком не связано.
Головолома заключается в просто задании:
Отделить все три кольца от этого дурацкого шнурка!
Но разрезать ни кольца, ни шнурок НЕЛЬЗЯ!
Возможно ли такое "в нашем ТРЁХ-мерном пространстве"?
Вложения
IMG_3645.jpg
IMG_3645.jpg (873.29 КБ) Просмотров: 3282
IMG_3647.jpg
IMG_3647.jpg (794.38 КБ) Просмотров: 3282
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Топо-ЛОГИЧЕСКОЕ объяснение простоты натурального ряда.

Сообщение Rados » Чт июн 11, 2020 12:38 am

Повторим основные понятия в ТОПОЛОГИИ:
Геометрическая точка - нульмерна.
Линия - имеет только ОДНО измерение - длину, которая ограничена ДВУМЯ точками: началом и концом ЭТОЙ линии.
При этом "ширина линии" НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ.
Замкнутые линии образуют КОНТУР, который ОТДЕЛЯЕТ (ограничивает) внутреннюю часть геометрической фигуры - от внешнего пространства.
При этом "толщина поверхности" НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ.
То есть, на криволинейной поверхности, например, на 2D-СФЕРЕ все геометрические фигуры расположены В ОДНОМ СЛОЕ, толщина которого НЕ УЧИТЫВАЕТСЯ при определении ПЛОЩАДИ поверхности (2D), ограниченной замкнутой линией (1D).

В повседневной жизни такие СХЕМЫ учитывают только ПЕРЕСЕЧЕНИЯ линий в ОДНОМ СЛОЕ, а цветом выделяются сплошные линии - для того, чтобы легче было определять направление (ориентацию) различных пересекающихся линий. Расстояние МЕЖДУ точками пересечения на таких схемах так же НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ, потому что такая схема предназначена не для измерения расстояний (1D), а для подсчёта КОЛИЧЕСТВА промежутков (отрезков пути).
Самый известный пример такой ЛИНЕЙНОЙ топологической схемы - это СХЕМА МЕТРО!
Многие НЕматематики легко ориентируются в этом МНОГООБРАЗИИ - вообще без всяких "числовых значений" - по цвету линий и названию СТАНЦИЙ (остановок движения). В топологии количество линий проходящих через точку называют ИНДЕКСОМ этой точки.

Для разминки предлагаем желающим НАЙТИ на схеме линий Московского метополитена СТАНЦИЮ, которая имеет "топологический индекс" = 7.
Вложения
метрО.gif
метрО.gif (292.35 КБ) Просмотров: 3203
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2338
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ


Вернуться в Топология



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1