Меню
Наткнулась на любопытное исследование: https://p-plus-minus-n-research.netlify.app — автор изучает, как примориалы могут влиять на вероятность появления простых чисел в выражениях вида:
[tex]p \pm N[/tex], где (p) — простое число, а (N) — примориал (т.е. произведение всех простых чисел до некоторого предела: (2# = 2,\ 3# = 6,\ 5# = 30,\ 7# = 210,) и т.д.).
Суть гипотезы: Идея в том, что может существовать “оптимальный” примориал ([tex]N_0[/tex]), при котором вероятность, что [tex](p + N_0[/tex]) или ([tex]p - N_0[/tex]) окажется простым, максимальна. То есть примориал здесь выступает как своеобразный «фильтр» составных чисел, устраняя кандидатов, делящихся на малые простые.
Что показывает эксперимент:
Автор прогнал тесты для (p) до примерно 30 000 000 и разных примориалов (N):
* максимальная плотность простых-кандидатов достигается при ([N = 29#) — примерно в 6.28 раза выше, чем ожидаемая стандартная плотность простых;
* но максимальная эффективность (то есть доля тех (p), для которых ([tex]p ± N[/tex]) реально простые) наблюдается при (N = 19#);
* дальше рост (N) даёт рост плотности, но при этом эффективность начинает снижаться — что выглядит как некий компромисс.
Почему это может работать:
Если (N = q#), то для всех малых простых ([tex]r \le q[/tex]) выполняется:
[tex]p \pm N \equiv p \pmod r[/tex], т.е. сдвиг на примориал не меняет остатки по малым модулям — и, следовательно, отсекает множество составных кандидатов.
Это как “модульный фильтр”, который даёт больше шансов попасть на простые.
Инструмент:
На сайте есть интерактивный инструмент на .js, где можно задать диапазон, выбрать примориал и посмотреть, сколько из ([tex]p \pm N[/tex]) оказываются простыми. Работает в браузере, можно сразу поиграться... НО! Я бы этому особо не доверяла, так как js и большие числа - вещи малосовместимые
Моё мнение: Идея интересная, и здорово, что автор не ограничился теорией, а сделал вычислительный эксперимент и дал открытый инструмент.
Но это, конечно, пока не доказанная закономерность, а скорее наблюдение в ограниченном диапазоне.
Вполне возможно, что эффект ослабевает при больших (p), но — тем не менее — направление кажется стоящим внимания.
Хорошая тема для проверки на больших данных или для поиска строгого объяснения (если оно вообще есть).
Что думаете? Может, кто-то уже встречал похожие конструкции или имеет опыт с подобными "фильтрами простых"?
Буду рад вашим мнениям, проверкам и контрпримерам.
Это так, для демонстрации до 10M, потом все нафиг зависнет. 
На самом деле большая благодарность Браусову за такой подробный разбор и приведение решения!