Два интересных расширения теоремы Ферма (по Петрову).

[Dytr0^1]

Вышла новая статья Петрова «Futurologic» (пришла рассылка из одной библиотек): "Личные записки о двух интересных гипотезах: в потаённом мире степеней и чисел, в тени Великой теоремы Ферма" (СИ, 2025, 7 стр). Статейка малюсенькая и я ее махом просмотрела. На самом деле, хоть что-то более-менее интересное + понятное, от этого автора. Статью прикрепляю.

Petrov_Lichnyie_zapiski_o_dvuh_interesnyih_gipotezah_v_potayonnom_mire_stepeney_i_chisel_v_teni_Veli__474e9b_754943.zip

@Личные записки о двух интересных гипотезах..." (с) Иван Петров («Futurologic»)

(81.33 КБ) Скачиваний: 17

Автор приводит две весьма мало известные задачки, которые условно можно назвать расширением ВТФ:

1) [tex]x = \sqrt[n]{a^n + b^n + c^n}[/tex], [tex]a,b,c∈ℕ[/tex], [tex]a≠b≠c[/tex] и целого [tex]n>2[/tex], не имеет решений [tex]x∈ℕ[/tex]

2) [tex]a^n+b^n=c^n+d^n[/tex], [tex]a,b,c,d∈ℕ[/tex], [tex]a≠b≠c≠d[/tex] и целого [tex]n>2[/tex], имеет решений в области натуральных чисел.

По сути оба уравнение, это расширение ВТФ: первое - расширение по числу слагаемых, второе по симметрии. Кстати, второе, где-то уже встречала среди обсуждений.
Автор приводит, скажем так, чисто "интуитивные" доказательства, основанные по сути на анализе экспоненциального роста степенных выражений. Ничего не имею против таких подходов, но это не доказательство в научном смысле слова, а скорее первоначальный шаг к нему (да еще на уровне школьной математики). Впрочем, статья как раз по сути и рассчитана на то, чтобы заинтересовать читателей в самостоятельном поиске доказательств. По крайней мере сам автор об этом пишет.

Меня эти задачи заинтересовали, но конечно с точки зрения полноценного доказательства, а не приведенных в статье набросков.

[Dytr0^1]

Меня больше заинтересовало второе уравнение, хотя оба диофантовы уравнения, второе обладает еще и симметрией. По сути это прямое расширение ВТФ, где добавили хвостик для симметричности

Итак, мы имеем диофантово уравнение: [tex]a^n+b^n=c^n+d^n[/tex], где[tex]a,b,c∈ℕ[/tex], [tex]a≠b≠c≠d[/tex] и при n>2 - не имеет решений в области ℕ.

Определим множество решений [tex]S[/tex] как:

[tex]S = \left\{ (a, b, c, d) \in \mathbb{N}^4 \mid a^n + b^n = c^n + d^n \right\}[/tex].

По сути, необходимо доказать, что это множество решений либо пусто, либо конечное.

Рассмотрим гиперповерхность, заданную уравнением:

[tex]f(a, b, c, d) = a^n + b^n - c^n - d^n = 0.[/tex]

Это алгебраическое многообразие в пространстве [tex]\mathbb{N}^4[/tex]. Нужно заметить, что для [tex]n > 2[/tex] теорема Вейля, например, утверждает, что по которому "для алгебраического многообразия, заданного полиномом степени n, количество рациональных точек (или решений) ограничено".

Но это только набросок мысли...

[Гость]

Эту гипотезу ( [tex]a^n + b^n = c^n + d^n[/tex] ), учитывая возросшую сложность и наличие симметрии, будут доказывать еще дольше чем ВТФ. Самое обидное, что уже доказанную ВТФ не прикрутишь на прямую к доказательству этой гипотезы. В общем удачи