Меню
В статье рассматривается новый подход к исследованию простых чисел, основанный на числовых корнях чисел. исследуется формула простых чисел f(a) = a * dr(a) + 1, где dr(a) — числовой корень числа a. Исследование показывает, что данная формула обеспечивает конкурентоспособную вероятность нахождения простых чисел в широком диапазоне значений a, представляясь потенциально важным инструментом для численной теории.
Петров И. Б. - Исследование формулы простых чисел f(a) = a х dr(a) + 1.zip- Петров И.Б. Исследование формулы простых чисел f(a) = a * dr(a) + 1
- (43.86 КБ) Скачиваний: 104
По сути статья описание формулы и небольшие данные по статистике вероятности простых чисел среди результатов генерации этой формулой натуральных чисел. Есть сравнение таковой вероятности для диапазона до а = 1 000 000 с известными формулами для вычисления простых чисел. (Не стану тут приводить - все есть в статье). Но само исследование - там по факту отсутствует. Это просто обозначение и описание формулы. Тем ни менее тема интересная.
Сама формула: [tex]f(a) = a * dr(a) + 1[/tex]. При диапазоне а от 1 до 1 000 000 вероятность простых числе среди результатов - 15.79% (это действительно так - не поленился сделать на С программку). Автор приводит для сравнения полином Эйлера: [tex]n^2 + n + 41[/tex] для n от 1 до 1 000 000 вероятность простых числе среди результатов - 26.11% (никогда не слышал, что эта формула "полином Эйлера", в советской литературе он идет без названия, или я чего-то не знаю? ну да ладно... формула такая реально есть). Еще там идет сравнение с формулами Ризеля, Софи Жермен, числами Ферма. На заданном диапазоне они выдают еще меньшую вероятность простых чисел среди результатов (правда для Ризеля автор использовал фиксированный n=1, что весьма сильное ограничение).
В общем формула Петрова весьма интересна судя по вероятности, но я прогнал ее до а = 100 000 000 и там вероятность падает до ~12%, что логично (в выборке участвует больший диапазон). По мнению Петрова вероятность простых чисел среди натуральных 11.11% - "нормальное" распределение праймов в ряду натуральных. Что вообще умозрительно - вероятность будет манятся в зависимости от ограничений диапазона выборки. Если уж брать по количеству простых чисел в диапазоне охватываемой формулой с заданным а, то справедливости ради там проценты простых чисел меньше 11.11%.
Прогнать "полином Эйлера" даже до 10 000 000 - не вышло - очень долго на моем железе, но предполагаю, что та же история, что и с формулой Петрова.
Интересно тут другое. По сути если сделать выборку по нечетным натуральным: [tex]2*a + 1[/tex] - вероятность простых чисел должна возрасти до формулы Петрова (по сути в формуле Петрова нет избавления от четных, dr(a) будет фактически случайно (относительно ряда натуральных до 10) выдавать значения от 1 до 9, и самое главное - шаг значений у Петрова больше), но проверив я увидел, что формула Петрова выдает все же большую вероятность простых, чем просто древнегреческая формула нечетного числа! Почему?