Верна ли теорема Протея?

[Гость]

Есть так называемая "теорема Протея или теорема гетероскейлинге", которую наверное впервые озвучил (в качестве отдельного утверждения) Иб Петров (Иб - это реальное имя, сам был удивлен) в своей одноименной статье.

Иб Петров - Теорема Протея или Теорема о гетероскейлинге.zip

Иб Петров - Теорема Протея или Теорема о гетероскейлинге.

(78.03 КБ) Скачиваний: 100

Собственно теорема звучит так:

Теорема: Для целых чисел a, b и c, где c > 1, a > 1 и b > 1, уравнения [tex]a^{b} + b^{a} = c^{a}[/tex] и [tex]a^{b} + b^{a} = c^{b}[/tex] не имеют целых решений.

По сути это частный случай диофантовых уравнений. И вроде бы доказательство приведенное автором понятно (я бы сказал на интуитивном уровне даже), но как-то мне кажется не совсем формальным, в плане своей достаточности. Тема интересная, так как здесь идет взаимосвязь именно между показателем степени и основанием, а также "скоростью" возрастания функций в правой и левой части уравнения.

[Гость]

А что смущает то?!

[Гость]

Я не разу ни математик, но в статье док-во на уровне школьной алгебры (то есть должно быть понятно большинству). Основано оно на том, что экспоненциальный рост всегда превосходит полиноминальный (по своим определениям). Все предельно понятно в рассуждениях автора. С левой стороны уравнения: сумма двух полиномов (как выразился автор) - [tex]a^{b }[/tex] и [tex]b^{a }[/tex]; с правой стороны: по сути просто показательная функция [tex]с^{a }[/tex] или [tex]c^{b }[/tex] (=[tex]c^{x }[/tex]).

Тут вся сложность в том, чтобы сообразить что сумма двух полиномов [tex]a^{b }[/tex] и [tex]b^{a }[/tex] будет расти медленнее [tex]с^{a }[/tex] или [tex]c^{b }[/tex]. При этом не стоит забывать, что ([tex]с^{a }[/tex] или [tex]c^{b }[/tex]) = [tex]a^{b }[/tex] + [tex]b^{a }[/tex]. Тут очень важно понимать именно то, что [tex]c^{x }[/tex] будет расти быстрее в контексте равенства суммы полиномов (а не просто как произвольное число).

Автор статьи просто весьма криво описал доказательство, особенно в части максимума функции g(a,b). Поэтому-то и не понятно.

Но это все интересно, конечно, однако куда интереснее рассмотреть: [tex]a^{b }[/tex] - [tex]b^{a }[/tex] = [tex]с^{a }[/tex] или [tex]c^{b }[/tex]

[Гость]

И вроде бы доказательство приведенное автором понятно (я бы сказал на интуитивном уровне даже), но как-то мне кажется не совсем формальным, в плане своей достаточности

Строго говоря - так и есть. В математике должно быть четкое формальное доказательство. И то, что в статье написано, по сути доказательством не является (с точки зрения математики). Но тут нужно понимать, что фактически автор рассматривает хорошо известные понятия, правда вообще ничего не расписывает. Это просто рассуждения на уровне интуиции для 11 класса.

Сама "теорема" - верна. А вот почему - попробуйте докажите сами, но используя полноценное математическое доказательство (именно формальное, а не интуитивное!)

[Гость]

Но это все интересно, конечно, однако куда интереснее рассмотреть: [tex]a^{b }[/tex] - [tex]b^{a }[/tex] = [tex]с^{a }[/tex] или [tex]c^{b }[/tex]

Рассмотрите Сразу намекну, что это немного сложнее, чем сумма. Тут уже простой интуицией не обойтись

[Гость]

a=2 b=6 c=10 Теорема не верна! Статьи написал ИИ

Всегда нужно проверять всю информацию!!

[Гость]

На сколько все доверчивые)))

[Гость]

Но справедливости ради автор опубликовал признание ошибки...