"Задача тысячелетия". Определить угол конуса

[Гость]

Задача на вид простая, но куча спецов с разных математических форумов обломали зубы.
Прошу помочь.
Суть в следующем:
Имеется усеченный конус, свернутый из листа определенной толщины. Конус имеет длину, наружный и внутренний диаметр соответственно по наружной и внутренней кромке. Через известные значение D, d, L, s необходимо определить угол A. Важно именно аналитическое решение. Никаких графических и численных методов.
Более понятно будет по эскизу.

[Гость]

Важно именно аналитическое решение. Никаких графических и численных методов.

Анализ исходных данных ПОКАЗЫВАЕТ, что эта "задача тыячелетия" сформулирована не корректно!
Угол А, который требуется определить по исходным данным НЕ ЗАВИСИТ от толщины листа, а диаметры указаны (ошибочно или намерено?) не по оси сечения конуса, а ПРОИЗВОЛЬНО!
То есть, фигура, изображённая на чертеже, НЕ ЯВЛЯЕТСЯ "усечённым конусом".

Очевидно, что эта "задача" навеяна Великой Гипотезой Пивня "О Конусном Радиусе Пивня"!

[Гость]

Смотрю на этом форуме собираются те еще "математики".
Конус свернут из листа определенной толщины. Способны себе такое представить? Но это не столь важно. Задача сводится к решению задачи в четком соответствии с приведенным эскизом. В итоге ответ найден без вашей помощи.
Решением являются корни уравнения 4 степени, полученные из подобия треугольников. Что-то вроде задачи Фараона.

[Гость]

Почему уравнение четвертой степени? У меня получилось квадратное уравнение с $\sin\alpha$ в виде аргументов, через корни которого надо было найти $\arccos2\alpha$, который и являлся решением

[Гость]

Опечатка. В виде аргумента.

[Гость]

Конус свернут из листа определенной толщины

Тогда такая фигура называется не "конусом", а ВОРОНКОЙ!
Конус имеет основание определённого диаметра и ОБРАЗУЮЩИЕ - линии из вершины конуса к окружности основания!
Если конус УСЕЧЁННЫЙ, то и верхняя (срезанная) часть НЕ ВЛИЯЕТЕ на "искомый угол"!!
А на чертеже вместо образующей конуса "задана" ДЛИНА "конуса" ... длина или высота?
А толщина ЗАГОТОВКИ вообще никак не влияет на угол А и введена в эту "задачу" произвольно.

Ответ однозначный: "Угол конуса равен А" - как и указано на чертеже.

[Гость]

из листа определенной толщины. Способны себе такое представить?

Не только "себе такое представить", но даже сделать в виде макета - ЛЕГКО!
А на чертеже сечение "листа" изображено ПРЯМОУГОЛЬНИКАМИ, но длину образующей "вычислить" в данном варианте НЕВОЗМОЖНО.
Это не "Задача тысячелетия", а просто такая "головоломка для математиков", вводимых в заблуждение "хитромудрым" чертёжником!

[Гость]

Нам необходимо найти угол, равный $\pi - 2\alpha$. Ход решения видится следующим:

$m = s\sin\alpha$

$\tan\alpha = \frac {\sin\alpha} {\cos\alpha} = \frac l t = \frac {2l} {D-d-2s\sin\alpha} $

$\frac {\sin^2\alpha} {1 - \sin^2\alpha} = \frac {4l^2} {(D-d-2s\sin\alpha)^2}$

Действительно, необходимо решить уравнение четвертой степени от $\sin\alpha$, окончательный вид решения будет громоздким. Уважаемый автор, Вы сами придумали эту задачу? Хочу сохранить ее с Вашего позволения как пример сложного решения при простой формулировке.

У Вас есть еще подобные задачи?

[Гость]

В предыдущем сообщении опечатка. $\tg\alpha$ вместо $\tan\alpha$.

[Гость]

m=ssinα

В таком случае основание этой фигуры - не является кругом, лежащим в ОДНОЙ плоскости с диаметром D, так же как и усечённое основание - тоже не является кругом, лежащим в ОДНОЙ плоскости с указанным на чертеже диаметром d.
Следовательно, эта фигура по определению является не КОНУСОМ, а воронкой.
Это не "задача тысячелетия", а топологическая головоломка, не имеющая ПРАКТИЧЕСКОГО применения.

[Гость]

Предлагаю более простой вариант вычисления:
Так как величина угла А не зависит от толщины S, то можно считать фактические размеры S = 0 и m = 0.
Тогда 2t = D - d, a t/l = tgA/2.
Находим числовое (десятичное) значение (D-d):2l.
А затем (по таблице Брадиса) - значение угла А/2.

[Гость]

Дело не в практическом применении задачи, а просто в задаче. Величина угла $A$ зависит от толщины стенки $s$, приглядитесь к чертежу внимательнее.

[Гость]

приглядитесь к чертежу внимательнее

Чертёж выполнен НЕКОРРЕКТНО (либо ошибочно, либо специально).
И читайте в условиях "задачи" ВЫНИМАТЕЛЬНО:

Важно именно аналитическое решение. Никаких графических и численных методов.

По определению - КОНУС - это сплошной массив, а не полый как показано на чертеже.
Толщина конуса в этой "задаче" - как бы "отвлекающий фактор", ибо для определения угла А ДОСТАТОЧНО двух катетов, один из которых - это l.

[Гость]

Давайте рассматривать задачу в отрыве от конусов и воронок, не путаясь в терминологии, просто как абстрактный чертеж. Если бы толщины стенок не было, то задача решалась бы просто, как Вы пишете. Но толщина стенок влияет на величину угла, поэтому вид решения будет сложным.

[Гость]

Вид решения будет сложным только из-за введения ЛИШНИХ данных в условия "задачи".
У военных "айтишников" это называется ДЕЗИНФОРМАЦИЕЙ, а у англичан почему-то "зелёной собакой"
Держу пари, что при другом - более сложном решении - можно будет сделать проверку путём подстановки конкретных числовых значений.
А значение угла А при этом будет ОДИНАКОВЫМ при любой толщине S, даже = 0.

[Гость]

Величина $D$ зависит от величины $s$. Если размер $D$ - диаметр внутренней части воронки, то задача решается так, как Вы хотите, но на чертеже размер проставлен зависящим от толщины стенки.

[Гость]

Величина D зависит от величины s.

Держу пари, что НЕ ЗАВИСИТ!
Rados. 24.05.2019.

"Делайте Ваши ставки, господа!"

[Гость]

$D_1$ -не зависит, $D$ - зависит.

[Rados]

"Ставок больше нет!"
Отвечаю по существу задачи:
КОНУС - это тело вращения, образованное прямоугольным треугольником, в котором гипотенуза является ОБРАЗУЮЩЕЙ.
А высота конуса и радиус основания конуса - это есть КАТЕТЫ прямоугольного треугольника. При этом угол при вершине ЭТОГО треугольника равен половине искомого угла КОНУСА.
Горизонтальные сечения конуса НЕ ИЗМЕНЯЮТ угол при вершине треугольника, а только делят этот треугольник на ПОДОБНЫЕ треугольники.
Но нас интересует соотношение радиуса нижнего основания конуса R н.о. - к высоте конуса, которое есть ТАНГЕНС половины угла конуса (А/2).
Однако, радиус нижнего основания КОНУСА в задаче не указан...
Ну и что?
Указанный на чертеже размер D не является диаметром нижнего основания КОНУСА, а радиус нижнего основания (R н.о.) НЕ ЗАВИСИТ от уменьшения или увеличения S. Принимаем значение S = 0 ... и от этого значение ИСКОМОГО угла конуса тоже не изменится!
То есть, при S = 0 диаметр D становится диаметром нижнего основания КОНУСА (D1).

Таким образом, один из катетов треугольника (= L) нам известен и условий "Задачи Тысячелетия", а радиус КОНУСА (= R н.о.) ограничен образующей ЭТОГО конуса и НЕ ЗАВИСИТ от "наружного диаметра", указанного на чертеже по наружным граням сечения S, потому что при S = 0 диаметр нижнего основания становится = 2 R н.о.
Далее из подобия треугольников следует, что второй катет равен t.
А угол при вершине треугольника находится по таблице Брадиса - по числовому значению t / L ( по тангенса угла А/2).

[Гость]

Rados
Вы осознаете, что радиус нижнего основания выражается через $D$ и $s$? Вы берете частный случай, когда $s = 0$ и выдаете его за общее решение задачи.