Азбука Расходимости

[Гость]

Азбука Расходимости

Вместо предисловия

Много есть на свете разных азбук. Дактильная – это азбука глухонемых, азбука Морзе или просто – школьная, для первоклашек.
Но наша Азбука – с лёгким… паранормальным уклоном. Ибо, касается она области совершенно уникальной. И связана с так называемыми расходящимися рядами. То есть, речь идёт о теме, остающейся «терра инкогнито» даже в рамках университетских программ…
Но, согласимся, любая тема, даже самая необычная неизбежно нуждается в знании определённых азов и начал для своего развития и становления.
Поэтому автором и предпринята эта скромная попытка собрания воедино этих самых начал… Стоит ли уточнять, что собирались они не на пустом месте и не одно десятилетие? Прежде, чем быть представлены вниманию неравнодушного читателя…
Но главное, Азбука эта - лишь первая, начальная ступенька на пути к тайнам парадоксального мира Расходимости. Ибо, за пределами её: и общие формулы регуляризации большинства рядов, и неординарная философия расходимости, и… новое представление о природе числа! Когда оно лишается своей изначальной количественной меры. Но всё это – лирика…
А пока…

Самое простое и не очень…

Самым простым и достаточно очевидным началом нашей Азбуки следует признать следующее правило: умножение или деление на константу расходящегося ряда эквивалентно умножению или делению на эту же константу его суммы. И действие это абсолютно и корректно, и допустимо:
π(1-1+1-1+1-1+…)= π- π+ π- π+…= π(1/2)= π/2 (1)
Также верно и обратное: вынос за скобки общего множителя:
2+4+6+8+…=2(1+2+3+4+…)=2(-1/12)= -1/6 (2)
А самое не очевидное действие, входящее в Азбуку, имеется? Да! Самое не очевидное и неожиданное свойство расходящегося ряда – возможность его суммирования с конечными суммами! Например:
1+1+1+1+1+1+1+… =-1/2
+
-1-1 -1 =-3
0+0+0+1+1+1+1+…=-1/2-3=-7/2 (3)
Под чертой здесь – результат почленного сложения расходящегося ряда с конечной суммой из трёх единиц. По существу в самом нижнем ряду просто произошёл перенос этих трёх единиц из левой части в правую с изменением их знаков.
Только здесь вместо получившихся нулей вносить нечто иное. Или просто игнорировать и отбрасывать их в сторону. А причина этого будет понятна из дальнейшего.
При этом наблюдается удивительный факт: размещение нулей внутри ряда и порядок их размещения (!) не имеет никакого значения! Только их количество значимо. Как, например, в этом, чисто случайном варианте:
1+0+1+0+0+1+0+1+1+1+1+1+…=0+0+0+0+1+1+1+…=-9/2 (4)
То есть, в ряду с единицами все существующие в нём нули можно собрать воедино и переместить их в его начало! А соответственно, получается возможность и для определения суммы такого необычного «дырявого» ряда…
И с любым более сложным рядом возможно то же самое. И вот для при-мера по аналогии с вышеизложенным имеем такую, весьма неожиданную в своей простоте, регуляризацию:
1+2+0+4+0+6+7+8+9+…=-1/12-3-5=-97/12 (4)
Тут в левой части ряда оказались незадействованными две «дыры»: на месте тройки и пятёрки. Потому как эти члены перенесены правую часть с противоположным знаком. И с любым другим числом и расположением «дырок» будет наблюдаться аналогичная картина…
А что же дальше? По алфавиту нашей «бесконечной» Азбуки? А дальше лучше всего знакомство с азами регуляризации начать в сугубо практическом ключе. А именно, начнём с нахождения суммы такого ряда:
С=1+1+2+2+3+3+4+4+5+… (5)
Когда сам процесс суммирования становится прекрасной иллюстрацией
на их применение, этих азбучных истин расходящейся бесконечности…

Штурм крепости вслепую?
Алгоритм образования общих членов этого ряда достаточно прозрачен. По два шага по ступенькам лестницы, уходящей в небо…
Выбор ряда у нас получился случайным, но достаточно подходящим. Но как же определить его сумму? Казалось бы чего проще: объединяем пары соседних членов и получаем.
1+(1+2)+(2+3)+(3+4)+…=1+3+5+7+…=? (6)
Так же делал и знаменитый монах Гранде со своим, не менее знаменитым, рядом:
(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0+0+0+…=? (7)
Прочему же тогда вместо ответов тут лишь знаки вопроса? Потому что школьные и бухгалтерские навыки учёта и контроля хороши только для пересчёта зарплат. А в области расходимости они не всегда неприемлемы и однозначно ведут в безнадёжный тупик. То есть, никакие попарные операции с соседними членами ряда категорически недопустимы! И причина это-го станет вскоре прекрасно понятна…

ШН: Шкала нумерации
Есть основное понятие в мире расходящихся рядов. Гарантия строгости и порядка в мире госпожи Расходимости. И это - Шкала нумерации. Без неё тут - как без рук. Прямая дорога в бардак и к полной неразберихе.
Она и сама по себе обладает рядом интереснейших свойств, эта самая ШН! Настолько удивительных, что без сомнений они достойны рассмотрения их в отдельной главе. Что же она представляет из себя?
Это та же полоса отрицательных и положительных натуральных, простирающаяся от минус бесконечности в плюс бесконечность:
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … (8)
Черта здесь отделяет её от ряда, который располагается под ней. Но по умолчанию практически всегда используется только её положительная ветвь. И первый член ряда всегда соотносится на ней с номером «1». Второй – с номером «2». И так далее…
Таким образом, каждый член любого ряда имеет в ШН (Шкале нумерации) свой индивидуальный и неповторимый номер.

Через тернии к…
Итак, в распоряжении у нас имеется положительная ветвь ШН и наш исходный ряд (5). Попробуем теперь прикрепить его к ней:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
1+1+2+2+3+3+4+4+5+…=С (9)
Над рядом и над чертой – номера этой самой нумерологической линейки. И вот дальше приходится очень детально обрисовывать положение дел с учётом принципиальной важности момента!
Обратим внимание: нечётные номера ШН дают вполне приемлемый и нормальный вариант для построения членов возможного будущего ряда:
1,2,3,4,5… (10)
Но и чётные её номера проявляют тот же самый алгоритм! Значит, проще всего надо как-то разделить исходный ряд (5) на сумму двух других, дополняющих друг друга. Но разделить таким образом, чтобы сумма их (во избе-жание бессмысленности) снова давала тот же исходный ряд!
Но как это можно сделать? Только с помощью ШН! А именно, ряд «С» на
нечётные и чётные номера разделим по вертикали. Тем самым сохраняя при этом за каждым членом его нумерологический номер!

1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
1 +2 +3 +4 +5 +…=А (11)
+1 +2 +3 +4 + … = В
И что же в итоге? Так выглядит картинка разбиения исходника не в строгом математическом виде, а в его качественном варианте.
А для получения строгой математической картинки чего тут не хватает?
Налицо у нас – два растянутых по горизонтали ряда. И не хватает заполнения чем-то конкретным пустых промежутков между членами каждого ряда.
Однако как это ни парадоксально, но и они и должны оставаться такими! То есть, полностью пустыми… Такой вот казус. Но для нашего привычного человеческого восприятия это очень и очень не комильфо! Поэтому чисто символически заполним их привычными нулями. Почему символически? Это также станет ясно из последующего.
Итак, в верной, приятной для глаз и в строгой математической интерпретации наш исходник» «С» равен сумме двух следующих рядов А и В:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
1+0+2+0+3+0+4+0+5+…=А
+
0+1+0+2+0+3+0+4+0+…=В
1+1+2+2+3+3+4+4+5+…=С (12)

Нумерологический паспорт

Заметим, что только благодаря сохранению пустых промежутков между элементами ряда нетронутыми (!) и закрыв их нулями, получаем желаемое:
А +В = С (13)
Но вопрос, тем не менее, формально остаётся без ответа: почему эти промежутки и нули неустранимы? Почему никак нельзя удалять их из поля нашего внимания?
Потому что в пределах Азбуки действует уникальное золотое правило:
Суммирование всех расходящихся рядов всегда может производится только в строго почленном порядке и в строго вертикальной ориентации!
Да, пусть так… Но вопрос-то сохраняет свою значимость? И, казалось бы, какое отношение имеет это «золотое» правило к неприкосновенности каких-то нулей и промежутков?
Скажем просто: самое непосредственное! А суть дела в том, что при соблюдении его - нумерологическая ткань всей системы остаётся неискажённой.
И каждый член ряда сохраняет свой номер. Свой нумерологический паспорт! То есть, например, двойка из ряда «А» как имела в ШН паспорт под номером «3», так и после суммирования она сохраняет его! А двойка из ряда «В» сохраняет свой паспорт под номером «4». И то же самое касается всех остальных членов ряда. Так что и все дальнейшие действия с рядом – лишь дело следования тому же самому универсальному принципу…
А попарное (горизонтальное) суммирование членов приводит лишь к «нумерологической каше». Ведь все они при этом смещаются (вправо – влево) со своих «законных» мест на другие, совершенно случайные номера. Что сразу ведёт к абсурду и к заведомо неверным дальнейшим выводам…
Итак… Именно в ШН все ненулевые члены нашего ряда естественным об-разом разделились (по горизонтали!) на чётные и нечётные номера. Таким образом, благодаря привязанности к Шкале, автоматом соблюдается и обратное соотношение:
С = А + В (14)


Кратко о символизме...
Ясно также становится теперь, почему игнорировать и отбрасывать из рассмотрения промежуточные нули никак нельзя! Ибо, опять после этого искажается строгая ткань нумерологии. И снова возвращаемся к нумерологической каше и к потере верных паспортов каждого из членов ряда.
И вместо «законопослушных величин» расходящейся бесконечности получаем тогда свору… беспризорников каких-то. Без роду, без племени…
А конкретно? Каков же тогда смысл этих нулевых «заместителей» наших пустот? Нет, это не цифры, как таковые. И не показатели «нулевого количества». Но что тогда?
Это не что иное, как просто символы! Но символы чего? Символы… пустоты! Они указывает на номер ШН, в котором пусто! В котором вообще нет ни-чего. Здесь только вакуум… Даже этих самых нулей там нет, как это ни забавно.

(Следует ли продолжение? Это уже зависит не от автора. А скорее, от меры читательского интереса к заявленной теме. Ведь впереди – и вычисление ин-тересной суммы и многое другое.
Так чему же равна сумма ряда «С»? Кстати, возможно, у кого-то из них (читателей) уже есть ответ на этот вопрос…)