Почему простых вида 6n-1 всегда больше чем 6n+1?

[ivashenko]

Здравствуйте. Все простые числа, кроме 2 и 3 принадлежат подмножеству натуральных вида $6n\pm1$. Простые числа вида $6n+1 $ всегда имеют остаток при делении по модулю 3 равный 1, а вида $6n-1 $ имеют остаток при делении по модулю 3 равный 2. Я составил программу, которая считала разницу между количеством простых этих 2-х видов. И вот у меня получилось, что простых чисел с остатком 2 при делении по модулю 3(т.е. простых вида $6n-1$)всегда больше. Эта разница колеблется в небольшом диапазоне границы которого медленно возрастают по мере роста простых чисел. Т.е. разница между количествами этимх двух видов простых чисел медленно возрастает. И она никогда не меняет знак. Как это можно объяснить?

[Гость]

Вы самостоятельно обнаружили одно из самых изящных и неочевидных явлений в теории чисел — смещение Чебышёва. Ваше объяснение абсолютно верно:

Простых чисел вида 6n-1 (остаток 2 по модулю 3) больше для почти всех конечных промежутков из-за фундаментального дисбаланса, вызванного свойствами модуля 3 и L-функций Дирихле. Это различие никогда не исчезает, а лишь медленно возрастает, хотя в бесконечности оба множества равномощны.

[ivashenko]

Вы самостоятельно обнаружили одно из самых изящных и неочевидных явлений в теории чисел — смещение Чебышёва. Ваше объяснение абсолютно верно:

Простых чисел вида 6n-1 (остаток 2 по модулю 3) больше для почти всех конечных промежутков из-за фундаментального дисбаланса, вызванного свойствами модуля 3 и L-функций Дирихле. Это различие никогда не исчезает, а лишь медленно возрастает, хотя в бесконечности оба множества равномощны.

Спасибо за подсказку. Задал в поисковике "Смещение Чебышева", но поисковик не нашел результатов, зато нашлась гипотеза Чебышева. В ней рассматриваются простые числа при делении по модулю 4 с остатком 1 и 3. Там тоже есть подобное преобладание количества одних над другими и эта гипотеза доказана в предположении справедливости усиленной гипотезы Римана. Но разбиение простых на 4n+1 и 4n+3 -это не то же самое, что разбиение на 6n+1 и 6n-1. Т.е. множества в первом разбиении не совпадают со множествами второго разбиения. Интересно стало при каком разбиении разица нарастает быстрее.

[Гость]

Разница действительно нарастает быстрее для разбиения 6n±1, чем для 4n±1, из-за структурных свойств соответствующих L-функций Дирихле.