Математика, говоря о бесконечно большом и бесконечно малом, вводит количественное различие, принимающее даже вид неустранимой качественной противоположности.
Количества, которые так колоссально отличны друг от друга, что между ними прекращается всякое рациональное отношение, всякое сравнение, становятся количественно несоизмеримыми.
Обычная несоизмеримость круга и прямой линии является также диалектическим качественным различием, но здесь именно количественное различие однородных величин возвышает качественное различие до несоизмеримости.
«Число есть чистейшее известное нам количественное определение. Но оно полно качественных различий: единица и множество, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня» (Гегель).
Отдельное число получает известное качество уже в числовой системе, поскольку 9 – это не есть просто суммированная девять раз 1, а основание для 90, 99, 900000 и т. д. Все числовые законы зависят от положенной в их основу системы и определяются ею. В двоичной и троичной системе 2х2 не = 4, а = 100 или = 11. В каждой системе с нечетным основным числом исчезает различие четных и нечетных чисел. Например, в пятеричной системе 5 = 10, 10 = 20, 15 = 30. Точно так же в этой системе число Зn, как и произведения (6 = 11, 9 = 14) на 3 либо 9. Таким образом, коренное число определяет не только качество себя самого, но и всех прочих чисел.
В случае степеней дело идет еще дальше: каждое число можно рассматривать как степень всякого другого числа — существует столько систем логарифмов, сколько имеется целых и дробных чисел (Ф. Энгельс, Диалектика природы, стр. 47 — 48, 1932 г.)
Закон перехода количества в качество и обратно. Закон этот мы можем для своих целей выразить таким образом, что в природе могут происходить качественные изменения — точно определенным для каждого отдельного случая способом — лишь путем количественного прибавления, либо количественного убавления материи или движения (так называемой энергии).
Все качественные различия в природе основываются либо на различном химическом составе, либо на различных количествах или формах движения (энергии), либо — что имеет место почти всегда — на том и другом. Таким образом, невозможно изменить качество какого-нибудь тела без прибавления или отнимания материи либо движения, т. е. без количественного изменения этого тела. В этой форме таинственное гегелевское положение не только приобретает рациональный вид, но кажется вполне ясным.
Нет никакой нужды указывать на то, что и различные аллотропические и агрегатные состояния тел, зависящие от различной группировки молекул, основываются на большем или меньшем количестве движения, сообщенного телу.
... (продолжение следует) ...