Еще раз о схолатике в основаниях теории множеств

[Гость]

Еще раз о схоластике в основаниях теории множеств

Если справедлива теорема Кантора о счетности множества рациональных чисел,где он располагает их в таблицу, то справедлива и теорема Алатина, где в таблицу размещены числа действительные:
Теорема Алатина. Множество действительных чисел отрезка [0,1] счетно.
В целях сокращения записей и повышения наглядности воспользуемся двоичной системой координат и в первой строчке запишем все числа, имеющие один разряд после запятой:
0,0; 0,1.
Во второй строчке запишем числа, имеющие два разряда после запятой:
0,00; 0,10; 0,01; 0,11.
В третьей строчке запишем числа, имеющие три разряда после запятой:
0,000; 0,100; 0,010; 0,001; 0,110; 0,011; 0,101; 0,111.
И так далее.
Перечисляя числа слева направо каждую строчку и строчки соответственно сверху вниз, ставим в соответствие каждому числу таблицы число натуральное.Поскольку числа в таблице повторяются, следовательно, различных чисел будет меньше, чем чисел в таблице, а значит множество действительных чисел на отрезке [0,1] заведомо счетно.
Теорема доказана.