Вещественное число

[Гость]

Имеется следующая лемма и соответсвующее доказательство:

Для любых двух различных вещественных чисел а, b, a<b, существует такое рациональное число r, что a<r<b.

Вопрос: возьмем действительное число a = 1,2343(9), b = 1,2344. Каким тогда будет r ?

Буду благодарен за помощь, я в этой области дилетант

[Andy]

В Вашем случае данная лемма неприменима, потому что [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] представляют собой различные формы записи одного и того же рационального числа.

[Andy]

Правда, в известной мне формулировке леммы вместо знаков строгого неравенства имеются знаки нестрогого неравенства. Тогда лемма применима, и можно положить, например, [tex]r=\frac{12344}{10000}.[/tex] Это третья форма записи того же рационального числа.

[Andy]

Моё второе сообщение было неверным. Прошу извинить! Первое сообщение остаётся в силе.

[Rados]

Каким тогда будет r ?

Очевидно, что r будет среднеарифметическим числом МЕЖДУ двумя указанными ВЕЩЕСТВЕННЫМИ числами а и b!
r = (1,2343 + 1,2344) : 2 = 1, 23435
1, 23430 < 1,23435 <1,23440

[Andy]

Каким тогда будет r ?

Очевидно, что r будет среднеарифметическим числом МЕЖДУ двумя указанными ВЕЩЕСТВЕННЫМИ числами а и b!
r = (1,2343 + 1,2344) : 2 = 1, 23435
1, 23430 < 1,23435 <1,23440

Вы не заметили, что [tex]a=1,2343(9)=1,2344 \ne 1,2340.[/tex]

[Гость]

Спасибо!

Ошибка в том, что число 0.(9) равнозначно 1.0

[Гость]

В Вашем случае данная лемма неприменима, потому что [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] представляют собой различные формы записи одного и того же рационального числа.

Лемма справедлива. Доказательство прилагаю

[Rados]

Вы не заметили,

Это можно заметить даже "невооружённым глазом", ибо между ДВУМЯ числами в одной линейной последовательности можно найти "арифметическую середину":
Например,
a = 1,234390
b = 1,23440
Тогда r = 1,234395
А кто не верит - пусть проверит (на калькуляторе)!

[Rados]

Ошибка в том, что число 0.(9) равнозначно 1.0

Между числами 0,9 и 1,0 наверняка есть число 0,99 = r

[Andy]

Ошибка в том, что число 0.(9) равнозначно 1.0

Между числами 0,9 и 1,0 наверняка есть число 0,99 = r

Вам неизвестна разница между числами [tex]0,9[/tex] и [tex]0,(9)[/tex]?

[Andy]

Лемма справедлива. Доказательство прилагаю

Да, справедлива. И я об этом сообщил:

Моё второе сообщение было неверным. Прошу извинить!

[Rados]

Вам неизвестна разница между числами

Наглядно понятие вещественного числа можно представить при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой и, обратно, каждой точке прямой можно поставить в соответствие некоторое вещественное число, притом только одно. Вследствие этого соответствия термин «числовая прямая» обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.
... ... ... ________________________________________________________________________________________________________________________________
С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R (от лат. realis — действительный).

[Andy]

В Вашем случае данная лемма неприменима, потому что [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] представляют собой различные формы записи одного и того же рационального числа.

Лемма справедлива. Доказательство прилагаю

Да, лемма справедлива, но в данном случае она неприменима, потому что [tex]a=1,2343(9)=b=1,2344,[/tex] А по условию леммы должно быть [tex]a<b.[/tex]

[Rados]

Вопрос: возьмем действительное число a = 1,2343(9)

Встречный вопрос автору вопроса:
Является ли число 1,2343(9) ВЕЩЕСТВЕННЫМ ЧИСЛОМ?
И как такое число можно отобразить на числовой оси МЕНЬШЕ числа 1,2344?

[Andy]

Вопрос: возьмем действительное число a = 1,2343(9)

Встречный вопрос автору вопроса:
Является ли число 1,2343(9) ВЕЩЕСТВЕННЫМ ЧИСЛОМ?
И как такое число можно отобразить на числовой оси МЕНЬШЕ числа 1,2344?

Извините, пожалуйста, за то, что отвечаю на сообщение, адресованное не мне. Число [tex]1,2344[/tex] -- это рациональное число, потому что его можно записать в виде отношения двух целых чисел, например, так: [tex]\frac{12344}{10000}.[/tex] Его можно записать также как в виде [tex]1,2344(0).[/tex] так и в виде [tex]1,2343(9),[/tex] то есть в виде бесконечной десятичной дроби, поэтому это число вещественное. Прочитайте, пожалуйста, параграф "Вещественные числа" в книге "Основы математического анализа", часть первая, написанной В. А. Ильиным и Э. Г. Позняком.

[Гость]

А ЗАЧЕМ записывать вещественное число в виде БЕСКОНЕЧНОЙ дроби, если в задаче указано конкретное условие: а < b?????????????????????????????????1,23439999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 < 1,23440

[Гость]

Действительное (рациональное) число - это ТОЧКА на числовой оси, а не соотношение ДВУХ чисел!
А бесконечную ДЕСЯТИЧНУЮ дробь можно получить не только при делении на "десятичное" число:
22/3 = 7,333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333...
22/7 = 3,142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857...

[Rados]

его можно записать в виде отношения двух целых чисел

Например?
22 - это ЦЕЛОЕ число и 21 - тоже ЦЕЛОЕ число, разве не так?
Между ними есть действительное число r = 22 - 1/2 = 21 + 1/2
А если взять СООТНОШЕНИЕ 22/21, то получим (в десятичной системе) бесконечную дробь:
22 : 21 = 1,0476190476190476190476190476190476190476190476190476190476190476190476190476190476190476190476190476190476190...