Показать иррациональность

[Гость]

Помогите показать рационально или нет выражение типа: [tex]\sqrt[n]{2^{n-2}a^n + b^{n/2}}[/tex] .

[Andy]

Если я не ошибаюсь, то рациональным называется математическое выражение, не содержащее радикалов. Здесь же мы имеем два радикала - корень степени [tex]n[/tex] из выражения [tex]2^{n-2} a^n+b^{\frac{n}{2}}[/tex] и квадратный корень из выражения [tex]b^n~(b^{\frac{n}{2}}=\sqrt{b^n}).[/tex] Значит, заданное выражение иррациональное.

При этом, например, при [tex]n=2[/tex] это выражение может принимать как рациональное, так и иррациональное значение. В частности, если [tex]a=3,~b=16,[/tex] то выражение принимает рациональное значение, равное пяти. Если [tex]a=1,~b=2,[/tex] то выражение принимает иррациональное значение, равное [tex]\sqrt{3}.[/tex]