Не могу найти, где бы почитать про физический смысл бинома Ньютона. Неужели никто не попытался этот смысл описать?
У меня есть одно предположение. В разложенном виде в биноме всегда присутствует первое слагаемое в степени [tex]{n}[/tex] и второе слагаемое в степени [tex]{n}[/tex] - получается, что сам бином является суммой исходных слагаемых, каждое из которых возведено в [tex]{n}[/tex], но к этому ещё прибавляются дополнительные слагаемые.
Получается, что для описания физического смысла бинома, достаточно описать физический смысл этих дополнительных слагаемых, потому что всё остальное - это исходные слагаемые в степени [tex]{n}[/tex].
Возьмём случай с [tex]{n=2}[/tex]. Если бы не было слагаемого [tex]{2ab}[/tex], то бином выглядел бы так:
[tex]{(a+b)^2 = a^2 + b^2}[/tex]
И тогда его физический смысл был бы предельно ясен - большой квадрат равен сумме маленьких квадратов, сумма сторон которых равна стороне большого квадрата. Удивительно, что это не так!
Значит, чтобы построить 2 маленьких квадрата, нужно затратить больше ресурсов, чем для построения 1-го большого квадрата. Получается, что [tex]{2ab}[/tex] - это и есть тот самый ресурс, который необходимо затратить. Другими словами, при построении каждого квадрата в отдельности теряется энергия величиной [tex]{2ab}[/tex]:
[tex]{a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab}[/tex]
То есть, бином Ньютона показывает, что:
1) для построения фигуры в пространстве более высокой степени, нужно затратить больше энергии;
2) построение одной большой фигуры выгоднее, чем построение нескольких маленьких, которые имеют размер, равный размеру большой фигуры в пространстве менее высокой степени.
Например, если взять 2 отрезка [tex]{a}[/tex] и [tex]{b}[/tex], то они будут равны отрезку [tex]{a+b}[/tex]. Если же превратить их в квадраты [tex]{aa}[/tex] и [tex]{bb}[/tex], то их площадь будет меньше, чем у квадрата [tex]{(a+b)(a+b)}[/tex], а периметры останутся равными. То есть, одни и те же фигуры в 1-мерном пространстве равны, а в 2-мерном пространстве перестают быть равны.
Можно привести более реальный пример. Например, у нас есть мешок с деньгами, которые нужно потратить на строительство города. Мы можем потратить деньги разными способами:
1) построить "китайскую стену" и больше ничего (1-мерный объект);
2) построить замкнутую стену, периметр которой будет меньше, чем у "китайской стены", и больше ничего (2-мерный объект);
3) построить крепость, сторона которой будет меньше, чем у замкнутой стены, и больше ничего (3-мерный объект);
В то же время, можно вместо "больше ничего" что-то построить, но тогда придётся затратить дополнительный ресурс. Это и есть тот самый [tex]{2ab}[/tex] для 2-мерного объекта - чем больше мы будем строить 2-мерных объектов, тем менее выгодным будет строительство.
Или другой пример - если 2 человека хотят построить себе дом, то выгоднее построить 1 дом на двоих, чем каждому из них по дому. А разница в ресурсозатратах для 2-мерного случая будет [tex]{2ab}[/tex].
Вот такое получилось сумбурное описание физического смысла. Буду благодарен, если кто-нибудь даст мне ссылку на нормальное определение физического смысла (если такое существует). Если же такого до меня никто не писал, то предлагаю обсудить моё определение.