Меню
Классический пример неизмеримого по Жордану множества рациональных чисел на отрезке [0,1].
Почему считается, что «внутренняя» его мера равна нулю? ( В силу этого возникает несовпадение по величине «внутренней» и «внешней» мер, что , по определению, и означает неизмеримость упомянутого множества.) В объяснениях этого результата в книгах обычно ссылаются на то, что любой интервал внутри данного отрезка кроме рациональных точек всегда содержит и иррациональные, что делает невозможным существование какого-либо подмножества, состоящего только из рациональных точек, а по сему и делается вывод о нулевой «внутренней» мере . Мне здесь непонятно привлечение иррациональных чисел. В постановке задачи оговаривается, что рассматривается множество только рациональных чисел отрезка [0,1] ! И, вроде бы, всегда внутри него можно выбрать интервал ненулевой длины между парой рациональных точек, а затем рассмотреть supremum таких (т.е. только с рациональными границами !) интервалов, как того требует определение «внутренней» меры. И в моем понимании ….
… он будет равен единице, т.е. совпадет с величиной «внешней» меры отрезка [0,1]. Повторяю, зачем в рассмотрение привлекаются иррациональные числа, если изначально предлагается рассматривать только множество рациональных чисел отрезка [0,1] ?