Семиугольник в круге

[Radostar]

Правильный семиугольник вписан в окружность и расчленён на определённое множество тригонов.
Необходимо определить СКОЛЬКО в этом семиугольнике ПРАВИЛЬНЫХ тетрагонов и сколько НЕправильных?!
Тригонометрические формулы можно не использовать, но и не запрещается!
Время для решения не ограничено...

7угольник.jpg (299.24 КБ) Просмотров: 125

[Radostar]

Минуточку внимания! По многочисленным просьбам НЕпрофессиональных математиков в условия задачи вводятся дополнительные данные: каждой вершине тригона присвоена персональная буква латинской азбуки... Цифровизацию и триангуляцию не отрицаем, но в данном случае просто НЕ применяем!... Размеры каждой буквы тоже НЕ ИМЕЮТ значения, потому что Евклид сказал, что "точки размеров не имеют"... А каждый тетрагон может получить конкретное наименование, не взирая на его цвет, площадь и толщину!

7угольник.jpg (132.6 КБ) Просмотров: 121

Например, тетрагон АВDF можно назвать "трапецией", а тетрагон FJKU - "параллелограммом" или даже "ромбом".
Легче всего было посчитать количество равнобедренных трапеций - их получилось ровно 22 штуки. Остальные тетрагоны вообще какие-то НЕ равносторонние, но мы будем считать их тоже правильными, если они ВЫПУКЛЫЕ... Например, тетрагон AKUJ - выпуклый, поэтому его будем считать ПРАВИЛЬНЫМ, а тетрагон BKUC - НЕ выпуклый, поэтому правильным его считать не будем...

[Radostar]

Задачу можно упростить "до минимума" (до точек и связей между ними)... Многие БЫВШИЕ советские школьники должны помнить простую головоломку про "открытый" и "закрытый" конверт... С современные айтишники должны ЗНАТЬ "что такое гамильтоновы ЦИКЛЫ" (они же гамильтоновы пути, они же гамильтоновы ГРАФЫ)...
"Пифагоровы штаны" здесь тоже НЕ причём!
А цвет и толщина точек НЕ ИМЕЮТ ЗНАЧЕНИЯ!

[Евва]

рис. 4
Пусть прямоугольник будет ABCD , т.М будет самая высокая точка .
Пусть прямые DM и АВ пересекаются в т.Р и прямые МС и АВ пересекаются в т.Т .

Мы начинаем с т.Р
PD -DM -MC -CT -TB -BC -CA -AD -DB -BA -AP

Можно ли так ?

[Radostar]

Пусть прямоугольник будет ABCD

В данном случае такого прямоугольника в семиугольнике НЕ СУЩЕСТВУЕТ...
Поэтому попробуем представить себе эту задачу на примере "туристического маршрута "из пункта А в город N - туда и обратно"...
Точками на СХЕМЕ обозначены некие "остановки", а линиями - предполагаемый путь (маршрут туриста).
Самый короткий "маршрут выходного дня" - это поездка на А(вто) в город В(ладимир)...
Путь "туда" на схеме показан отрезком АВ, а путь "обратно" - тем же отрезком ВА. Замкнутый цикл такого маршрута топологи называют "уникурсальным ГРАФОМ"... Если зашифровать этот маршрут "письменно" (буквами), то получится слово "АВВА", а если турист решит на обратном пути заехать в город J, то получится тоже четыре буквы "АBJA"...

Но в предыдущей версии этой задачи (про семиугольник) предлагалось подсчитать КОЛИЧЕСТВО таких "маршрутов" (как замкнутых циклов) через три пункта и обратно, например, "из пункта А - через пункты J, N и F - обратно в пункт А".... Геометрически такой маршрут представляется как 4-угольник (тетрагон по-гречески), а "обозначить письменно" можно просто буквами = AJNFA...

[Radostar]

В топологии ИЗВЕСТНО такое понятие как "гамильтонов ПУТЬ" (он же гамильтонов граф, он же гамильтонов ЦИКЛ)...
Об этом тоже можно найти полезную "инфу" в нашей уважаемой Википедии:
"Гамильтоновы путь, цикл и граф названы в честь ирландского математика У. Гамильтона, который впервые определил эти классы, исследовав задачу «кругосветного путешествия» по додекаэдру. В этой задаче вершины додекаэдра символизировали известные города, такие как Брюссель, Амстердам, Эдинбург, Пекин, Прага, Дели, Франкфурт и др., а рёбра — соединяющие их дороги. Путешествующий должен пройти «вокруг света», найдя путь, который проходит через все вершины ровно один раз. Чтобы сделать задачу более интересной, порядок прохождения городов устанавливался заранее. А чтобы было легче запомнить, какие города уже соединены, в каждую вершину додекаэдра был вбит гвоздь, и проложенный путь отмечался небольшой верёвкой, которая могла обматываться вокруг гвоздя. Однако такая конструкция оказалась слишком громоздкой, и Гамильтон предложил новый вариант игры, заменив додекаэдр плоским графом, изоморфным графу, построенному на рёбрах додекаэдра" (конец цитаты) ...

Смотрим на схему такого маршрута (в 2D) и сравниваем её с "задачей про семиугольник"...
Никаких "дополнительных соединений" на схеме рисовать не следует!
Надо ВЫБРАТЬ такие "гамильтоновы циклы", которые начинаются и заканчиваются в одном и том же пункте.
Например. АJNPA ... Главное, чтобы каждый такой маршрут представлял из себя ЧЕТЫРЁХ-угольник (тетрагон по-гречески)...