Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Rados » Пн фев 20, 2023 8:19 pm

Возьмём для примера всем известный "Кубик Рубика" и поместим его в Декартову систему координат ХУZ.
Будем считать, что стороны "первичных" квадратиков равны между собой: Х = У = Z при любых единицах измерения (сантиметры, ярды, аршины, дюймы ... км ... а.е = у.е.)! И начнём вычислять площадь поверхности (S) этой Фигуры (гексаэдра), его объём (V) и считать коэффициент как соотношение величин V/S = ?

При Х = 1
S = 1х1х9х6 = 54 у.е.
V = 3x3x3 = 27 у.е.
V/S = 27 : 54 = 1/2.

При Х = 1,5
S = 1,5х1,5х9х6 = 121,5 у.е.
V = 3x3x3 = 91,125 у.е
V/S = 91,125 : 121,5 = 3/4.

При Х = 2
S = 2х2х9х6 = 216 у.е.
V = 6x6x6 = 216 у.е.
V/S = 216 : 216 = 4/4 = 1

При Х = 3
S = 3х3х9х6 = 486 у.е.
V = 9x9x9 = 729 у.е.
V/S = 729 : 486 = 6/4

При Х = 4
S = 4х4х9х6 = 864 у.е.
V = 9x9x9 = 1728 у.е.
V/S = 1728 : 864 = 8/4 = 2

При Х = 7
S = 7х7х9х6 = 2646 у.е.
V = 21x21x21 = 9261 у.е.
V/S = 9261 : 2646 = 14/4

При Х = 10
S = 10х10х9х6 = 5400 у.е.
V = 30x30x30 = 27000 у.е.
V/S = 27000 : 5400 = 20/4 = 5

При Х = 1/3
S = 1/3х1/3х9х6 = 6 у.е.
V = 1x1x1 = 1 у.е.
V/S = 1 : 6 = 1/6 = 1,6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666.......

Какая-то законо-МЕРНОСТЬ в этом со-ОТНОШЕНИИ существует...
Но говорят, что у "Кубика Рубика" не все кубики "кубические", а центральный кубик (внутри) вообще отсутствует!
То есть, на самом деле "первичных" кубиков НЕ 27 штук, а 3х3х3 -1 = 26 штук, то есть, число ЧЁТНОЕ!

Rubiks_cube_solved.jpg
Rubiks_cube_solved.jpg (55.74 КБ) Просмотров: 322
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Rados » Вт фев 21, 2023 1:20 pm

Нетрудно заметить "невооружённым глазом", что все квадратики на поверхности кубика образуют различные ГРУППЫ:
А - соединяются в ТРЁХгранный угол на вершине Куба,
В - соединяются в ДВУХ-гранный угол на ребре Куба,
С - находятся на оси вращения граней и НЕ перемещаются на другую ось.

Сделаем развёртку этих "квадратно-кубических" фигур на плоскость экрана и посчитаем сумму площадей этих квадратиков ПО ГРУППАМ, при этом ЦВЕТ квадратиков не имеет значения:
Группа "А" - это 8 трёхгранных углов по ТРИ квадратика: 3S х 8 = 24S
Группа "В" - это 12 двухгранных углов по ДВА квадратика 2S х 12 = 24S.
Группа "С" - это 6 квадратиков по 1 квадратику на каждой грани 1S х 6 = 6S.
Итого 24S + 24S + 6S = 54S.
В трёхмерном отображении нам видно только ТРИ грани "Кубика Рубика", потому что они НЕпрозрачные, а поверхность(2D) никакой толщины не имеет.
Но если применить к этому кубику формул Эйлера для много-ГРАННИКОВ, то можно записать это как:
24А - 24В + 6С = 6.
Число 6 в теории чисел считается СОВЕРШЕННЫМ числом, потому что 6 = 1х2х3 = 1+2+3. то есть операция умножения является эквивалентой (или гомеоморфной?) операции сложения... А цифры на числовых осях - это ПРОЕКЦИИ ТОЧЕК (координаты Х, У и Z), а НЕ единицы измерения геометрических фигур в ТРЁХ-мерном пространстве...
Проще говоря, 3D-пространство - это определённый ОБЪЁМ V = ХУZ (как произведение линейныз размеров), но не обязательно КУБ (как правильный гексаэдр), а может быть и параллелепипед со сторонами Х[tex]\ne[/tex]У[tex]\ne[/tex]Z > 0.
То есть, есть измерять объём МАТЕРИАЛА (например бумаги) для изготовления трёхмерной модели КУБА(3D), то надо просто площадь развёртки (2D) умножить на толщину (1D)листа бумаги. При этом ОБЪЁМ воздуха внутри такой модели (макета из бумаги) НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ...

Аналогично подсчитывается ОБЪЁМ деревянных деталей для изготовления деревянной 120-литровой БОЧКИ, при этом толщина стенок и крышки такого "цилиндра" ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЕ, а КОЛИЧЕСТВО трёхлитровых банок, которые МОЖНО разместить внутри такой бочки - это немного другая (топо-ЛОГИЧЕСКАЯ) ЗАДАЧКА!
Rubiks_cube_solved.jpg
Rubiks_cube_solved.jpg (73.67 КБ) Просмотров: 316
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Rados » Вт фев 21, 2023 7:22 pm

"Чисто практически" представленные на схеме кваратики МОЖНО сложить (не переУМНОжая) в "первичный"кубик размером Х * У * Z = [tex]x^{3 }[/tex], но его площадь (без учёта толщины поверхностей) будет всё равно равняться Х*У= [tex]1^{2 }[/tex] (без указания ед. изм.) = 3 синих квадратика + 2 белых квадратика + 1 красный квадратик = 6 "кв. ед."... Но тогда ОБЪЁМ пространства (3D)внутри такого "кубика" остаётся "пустым множеством нульмерных точек", так как Z = 0.

Об этом "догадался" ещё Альберт наш уважаемый Эйнштейн, но ДОКАЗАТЬ ГРАФИЧЕСКИ это не смог тов. Тёрстон и даже Гриша наш уважаемый Перельман!
И опять таки цитируем Википедию: "Теорема геометризации для трёхмерных многообразий является аналогом теоремы униформизации для поверхностей. Она была предложена в виде гипотезы Уильямом Тёрстоном в 1982, и обобщает другие гипотезы, например, гипотезу Пуанкаре и гипотезу эллиптизации Тёрстона!... Используя поток Риччи, в 2002 году Григорий Перельман доказал гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и, в частности, доказал гипотезу Пуанкаре" (конец цитаты)...
НО!!!
НАРИСОВАТЬ 3D-сферу на "школьной доске (мелом?) никому "в нутуре" (пока) не удаётся...
Хотя "по телевизору" нам такую "штуковину" демонстрируют ЕЖЕДНЕВНО! :lol:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Rados » Вт фев 21, 2023 7:45 pm

Мелом расчерчен асфальт НА КВАДРАТИКИ, (а не на "тетрагоны" = 4х-угольники)! :lol:
https://www.youtube.com/watch?v=eTuPAfy8KLg
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Rados » Вт фев 21, 2023 7:51 pm

Какие нафик "квадратики" в бухгалтерии?!!! :lol:
Кустодиев_-_Купец.JPG
Кустодиев_-_Купец.JPG (34.12 КБ) Просмотров: 313
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Rados » Ср фев 22, 2023 12:54 pm

Если ПРАВИЛЬНО сложить фигуры А + В + С, то получится 3D-гексаэдр, но НЕ КУБ.
Всего у нас в наличии 54 квадратика на Кубике Рубика, но не в Кубе, конечно, а НА поверхности куба!
Из этих 54 квадратиков можно собрать всего 9 кубиков.
54 : 6 = 9
"Формулу" такой РЕкомбинации запишем как:
4(А+А) = 24
4(В+В+В)=24
1(С+С+С+С+С+С) = 6
ИТОГО: 9 кубиков по 6 квадратиков НА каждом!
9 х 6 = 54
"Кто не верит - пусть проверит (на калькуляторе)"...
А на чертеже (в изометрии) ВИДНО только 27 квадратиков (9 синих + 9 красных + 9 белых)! :lol:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Stas » Пт фев 24, 2023 5:38 am

Занимательное исследование !

Есть вопрос - " То есть, есть измерять объём МАТЕРИАЛА (например бумаги) для изготовления трёхмерной модели КУБА(3D), то надо просто площадь развёртки (2D) умножить на толщину (1D)листа бумаги. При этом ОБЪЁМ воздуха внутри такой модели (макета из бумаги) НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ...

Аналогично подсчитывается ОБЪЁМ деревянных деталей для изготовления деревянной 120-литровой БОЧКИ, при этом толщина стенок и крышки такого "цилиндра" ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЕ,.."
В чём собственно разница ?
Stas
 
Сообщения: 877
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Rados » Пт фев 24, 2023 8:01 am

В чём собственно разница ?

Разница в ФОРМЕ деталей, из которых составлен Объект как некая СИСТЕМА (множество частей)!
Восьмая банка в тот же "компакт банок" уже НЕ ПОМЕСТИТСЯ, поэтому с неё надо начинать следующий этаж банок, но между банками остаётся ещё какой-то ОБЪЁМ свободного пространства (3D)!
восьмая банка в бочке.jpg
восьмая банка в бочке.jpg (72.93 КБ) Просмотров: 298
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Stas » Пт фев 24, 2023 2:40 pm

С перевозкой банок в бочке я на практике не сталкивался .. ;) .. это меня не интересует .
Я повторюсь - " .. ОБЪЁМ деревянных деталей для изготовления деревянной 120-литровой БОЧКИ, при этом толщина стенок и крышки такого "цилиндра" ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЕ,.."
Stas
 
Сообщения: 877
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Rados » Пт фев 24, 2023 3:03 pm

Пластмассовая 120-литровая бочка ПРОЩЕ деревянной, но у неё тоже есть СВОЙ объём (3D), который вычисляется аналогично: площадь ПОВЕРХНОСТИ (2D) х на толщину стенок (1D)... А вот СКОЛЬКО матрёшек находится ВНУТРИ самой Большой Матрёшки - "вопрос, конешно, ИНТЕРЕСНЫЙ"!!!
Топологи говорят, что "матрёшка" - это НЕ матрица, а Фигура, "гомеоморфная 3D-сфере Пуанкаре"...
Пластмассовую 3D-бочку сейчас можно сделать на импортном 3D-принтере, потому что на 2D-принтере НЕ ПРЕДУСМОТРЕНО "третьего измерения"! :)
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Rados » Пт фев 24, 2023 5:21 pm

на практике не сталкивался .. ;) .. это меня не интересует

В данном случае нас интересует немного другой вопрос: "Что значит 3D-мера, если это НЕ КУБ и НЕ ШАР???"
Анри Пуанкаре высказал ГИПОТЕЗУ, что такое "компактное односложно связное многообразие - это как бы 3D-сфера", то есть, такая СФЕРА, у которой кроме площади поверхности (2D) есть какой-то ОБЪЁМ(3D), но не внутренний и не наружный, а свой собственный ОБЪЁМ - между наружным (безконечным?) пространством Вселенной и внутренним пространством, которое НЕ СВЯЗАНО с внешним наружным пространством...
То есть, какой-то ОБЪЁМ (3D), ОГРАНИЧЕННЫЙ несколькими замкнутыми поверхностями (2D).

В разделе "Топология" у нас была дискуссия по поводу Фигуры, которую мы (условно) назвали "одноугольник Stasa-Radosa", но при этом использовали ФОТО-изображения различных МОДЕЛЕЙ (макетов). А Перельман доказал гипотезу Пуанкаре ДРУГИМ (чисто математическим) СПОСОБОМ - и даже "без циркуля и линейки"...
Если показывать этот "прямоугольный одноугольник" на плоскости ХУ (без учёта оси координат Z), то пересечение ДВУХ перпендикуляров на оси Х будет в нульмерной точке 0. А линейный размер (1D) равный ЕДИНИЦЕ в первой степени будет единым радиусом и для Окружности (1D), и для сферы (2D) и для поверхности ШАРА (3D), обозначенной на чертеже ЗАМКНУТОЙ красной линией!
Для выполнения такого чертежа нам не понадобится никакой "3D-принтер", а формулы для вычисления площадей и объёмов криволинейных фигур МЫ ЗНАЕМ из "школьной" ГЕО-метрии! ;)
Парадокс Stasa.jpg
Парадокс Stasa.jpg (40.31 КБ) Просмотров: 290
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Stas » Пт фев 24, 2023 7:22 pm

Вселенная конечна - это физики уже доказали .. ;) .. впрочем в данном случае это не важно ..
Более того вселенная имеет плоскую форму в пределах разумеется наших наблюдений , а они весьма обширны если верить астрономам ..
Отсюда и мой вопрос на который вы исчерпывающе ответили ..
Впрочем это уже проблемы физиков .. ;)

" .. у которой кроме площади поверхности (2D) есть какой-то ОБЪЁМ(3D), но не внутренний и не наружный, а свой собственный ОБЪЁМ - между наружным (безконечным?) пространством Вселенной и внутренним пространством, которое НЕ СВЯЗАНО с внешним наружным пространством..."
В древности говорили что наш мир срединный , между верхним и нижним ..
Впрочем об этом говорят все языческие и мировые религии .. ;)

Как ни странно , но эта точка зрения разделяется и современными учёными - миры оказываются связанными между собою так называемым информационным пространством ..
Есть такое понятие и в топологии ..
Stas
 
Сообщения: 877
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Rados » Пт фев 24, 2023 9:25 pm

В Высшей (теоретической?) Математике много ЛИШНЕЙ информации, которая не подтверждается экспериментами "в натуре"!
В практической (профессиональной?) деятельности используются более РАЦИОНАЛЬНЫЕ способы решения конкретных ЗАДАЧ (например, 3D-моделирование).
А "загадки и головоломки" - это просто как бы ТРЕНАЖЁРЫ для тренировки мозговых извилин...

"Во всём нужна сноровка, закалка, тренировка!" (А. В. Суворов)...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Stas » Сб фев 25, 2023 12:56 am

;) !!!
Stas
 
Сообщения: 877
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Rados » Пн фев 27, 2023 4:02 pm

В древности говорили, что наш мир срединный

Это и есть т.н. "СРЕДА обитания" - так сейчас говорят "во всём Мире" про нашу (земную) атмоСФЕРУ!
АтмоСФЕРА имеет вполне определённый ОБЪЁМ (3D), который измеряетс в "кубических" километрах, поэтому такую "среду обитания" можно называть "3D-сферой Пуанкаре"... А из Космического пространства такая 3D-сфера выглядит как Земной ШАР, покрытый со всех сторон этой единой и неделимой ВОЗДУШНОЙ СФЕРОЙ, внутри которой находятСЯ все живые организмы, вдыхающие внутрь эту самую "среду обитания" и выдыхающих обратно в атмосферу всякие газобразные вещества, в том числе т.н. С[tex]О_{2 }[/tex]
ГРАФИЧЕСКИ можно представить такое "трёхмерное односложно связное компактное МНОГО-образие без краёв" как некую материальную замкнутую ОБОЛОЧКУ, отделяющую внутреннее пространство от внешней "среды обитания"...
Например, как показано на следующей схеме (филетовым цветом) внутри этого "компактного многообразия" может существовать ОТДЕЛЬНОЕ замкнутое 3D-пространство, не связанное с внешним атмоСФЕРНЫМ 3D-пространством...
Перельман сумел ДОКАЗАТЬ математически, что такая "фиолетовая оболочка" (компактное многообразие без краёв) - это тоже как бы 3D-СФЕРА, а не КУБ и не ШАР... Но так как у такого ТРЁХмерного (объёмного) тела нет ПОСТОЯННОГО радиуса, то его объём вычислить по известным (алгебраическим?) формулам было НЕВОЗМОЖНО! И тогда Перельман предложил РЕШЕНИЕ такой задачи методом "дифференциальных уравнений потоков Риччи с хирургией", причём доказал это "с точностью до деформаций"... Проще говоря, если резиновую оболочку обычного МЯЧИКА (который наша Таня уронила в речку?) скомкать, не выворачивая наизнанку, а потом обратно развернуть в окружающей среде, то ОБЪЁМ этого "помятого мячика" нисколько не изменится!
А если в такой оболочке есть ОТВЕРСТИЕ, то через это отверстие можно вывернуть эту "сферу Пуанкаре" наизнанку!
Но от такой ДЕФОРМАЦИИ объём материи (составных частей мячика) тоже НЕ ИЗМЕНИТСЯ...
То есть, если НЕ разрезать 3D-сферу на отдельные ЧАСТИ, то даже в форме "гантели" это трёхмерное компактное односложно связное многообразие без краёв так и будет оставаться 3D-СФЕРОЙ...

А если на такой "гантеле" будет написано буквами, что это КУБ - НЕ ВЕРЬ ГЛАЗАМ СВОИМ! ;)
Вложения
Science5807.gif
Science5807.gif (44.75 КБ) Просмотров: 267
Две точки в  3-сферном пространстве.jpg
Две точки в 3-сферном пространстве.jpg (31.46 КБ) Просмотров: 267
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Stas » Вт фев 28, 2023 2:58 am

Честно говоря , я об этом не думал когда писал о тайнах семейства Пи .. :D
А оно вон как поворачивается ..
Всего то хотелось решить маленькую историческую загадку .. ;)
Stas
 
Сообщения: 877
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Rados » Вт фев 28, 2023 9:23 am

А оно вон как поворачивается

ОНО ВСЁ так и "в натуре" поворачивается - ВОКРУГ невидимой оси, а не только вокруг центральной точки на плоскости.
Если числовая ось НЕ ЯВЛЯЕТСЯ прямой линией (как в декартовой системе координат), то ЭТО другая система координат - НЕ декартовая...

А ещё можно "озадачиться" числовой ШКАЛОЙ ВРЕМЕНИ - на циферблате "обычных" часов, на которых "НЕТ НУЛЯ" (то есть, на НЕэлектронных).
Где-то такая "задачка" уже была - ещё в советской школе: написать последовательность СОВПАДЕНИЯ (по направлению) часовой и минутной стрелки, начиная от 00.00. до 12.00.

На калькуляторе такая задачка НЕ ИМЕЕТ РЕШЕНИЯ...
А для наглядного ДОКАЗАТЕЛЬСТВА такие позиции стрелок надо НАРИСОВАТЬ ГРАФИЧЕСКИ...
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1 ... 0%BA%D0%B0
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Rados » Вт фев 28, 2023 11:57 am

о тайнах семейства Пи

[tex]\pi[/tex] - это "про длину Окружности" (1D)
Угол между ДВУМЯ радиусами всегда ПЛОСКИЙ и не зависит от длины этих радиусов.
R > r > 0

Радиусы никакой "толщины" тоже НЕ ИМЕЮТ, а точки в пространстве НЕ ИМЕЮТ никаких радиусов.
Пространственно-ВРЕМЕННОЙ континуум - это 3D-сфера в определённый МОМЕНТ ВРЕМЕНИ (ein Moment), а время ЦИКЛИЧНО, но не являетс МЕРОЙ ДЛИНЫ.
Опять "вопрос терминоЛОГИИ"?!
Когда говорят (устно?): "Радиус в КВАДРАТЕ", то имеют ввиду НЕ 4-угольник (тетрагон), а КРУГ(2D)...
И на этом "разногласии" можно насочинять МНОЖЕСТВО задачек и головоломок "для любителей Математики"!!! :lol:
Угол МЕЖДУ стрелками.jpg
Угол МЕЖДУ стрелками.jpg (39.99 КБ) Просмотров: 261
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Rados » Вт фев 28, 2023 12:09 pm

Если на рисунке подразумевается ЦИФЕРблат, то можно "догадаться", что это нарисовано ВРЕМЯ (t):
- либо "четверть третьего",
- либо "14.15".
Длина стрелок (1D) при этом НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Соотношение Объёма(3D) к Площади(2D).

Сообщение Stas » Вт фев 28, 2023 4:54 pm

Пи - это о трансформации окружности , как частного .. ну или о трансформации сферы как общего .. ;)
Насколько мне известно , в реальном мире ни идеальной окружности , ни идеального шара встретить не удасться , увы ..
От того математика и не относится к естественным наукам .. в наше время конечно ..
Возможно древние относились к ней несколько иначе , как моё предположение конечно .. ;)
Stas
 
Сообщения: 877
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

След.

Вернуться в Математическая задача месяца



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2