"Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

[Rados]

Строим из восьми египетских треугольников - прямоугольник с размерами 6 х 8, получаем площадь S = 48 "квадратиков".
Переставляем эти же восемь треугольников в квадрат 7 х 7, получаем S = 49 "квадратиков"!
На чертеже этот дополнительный квадратик сразу появился!

Cтроим квадрат 8 х 8 и делим его на две части - 3 х 8 и 5 х 8, а затем делим каждый прямоугольник ровно пополам, но с таким расчётом, чтобы собрать из полученных частей прямоугольник 5 х 13. По площадям имеем два четырёхугольника по 20 "квадратиков" и два треугольника по 12 "квадратиков"...
В результате перестановки получаем прямоугольник с размерами 5 х 13 = 65 "квадратиков", то есть те же 64 "квадратика" + 1 дополнительный.
НО!!!
Почему этот дополнительный "квадратик" не появился в прямоугольнике?
Может быть, Евклид что-то "недосчитал", а математики за 2300 лет этого так и не заметили?!!

[Rados]

Предложенная Форуму "Задача месяца" никем (пока) так и не решена...
Либо это никого из "математиков" уже не интересует, либо никто не хочет ТРАТИТЬ СВОЁ ВРЕМЯ на решение этой простой задачки.
Предлагаю ПРОДЛИТЬ эту задачку ещё на один месяц!

[Rados]

Даём подсказку для решения этой "задачки":
Во втором случае (при делении квадрата на составляющие фигуры) дополнительная "квадратная единица площади" (64 +1) НЕ ЯВЛЯЕТСЯ КВАДРАТОМ "в геометрическом смысле"!

[Павел]

Условие задачи не исключает возможности перекрывания областей фигур.
Допустим, "квадратик" - тот, что не совсем квадратик - если обращаться к подсказке - окажется ромбом с площадью 10.
Годится?

[Rados]

Годится именно как "догадка", но не совсем точно, то есть не = 10.
В действительности этот "единичный квадрат" = +1 размазан по диагонали Большого Прямоугольника = 5 х 13.
Но "визуально" заметить это можно только при большом увеличении чертежа.

[Павел]

Вы не вполне поняли мой ответ, а я (не видя Вашей иллюстрации ко второй задаче) - не вполне корректно воспринял условие.
Куда в варианте Вашем делось (1/65*100, т.е.<2)% площади фигуры - мне вполне понятно.
Со своей стороны я шёл иным путем: больший прямоугольник - разделил на два равных прямоугольника 5х4, меньший на треугольники делится однозначно (хотя именно его был у меня соблазн разделить на четырёхугольники с двумя непрямыми углами). Два прямоугольника поместил по краям выстраиваемого, а большими катетами треугольников - перекрыл оставшийся периметр. При этом часть площади фигур - совпала. Если треугольники размещать на одном уровне (так, чтобы основание одного и противолежащий угол другого были на одном расстоянии от меньшей стороны построенной фигуры) - между их гипотенузами и обращёнными внутрь фигуры сторонами малых прямоугольников - будет ромб свободного пространства площадью в 10кл. /как треугольники на одном уровне ни размести, пока периметр не прервётся/. (Понятно, что разместить треугольники можно и иначе - уменьшив или увеличив площадь пустого ромба в интервале [11/3; 49/3]).
Таков другой ответ на вашу задачу - вполне отвечающий описанным условиям.
...
Впрочем, по моему мнению - Ваш - изящнее! (но и в Вашем случае - в центре пустой ромб!)

[Rados]

другой ответ на вашу задачу - вполне отвечающий описанным условиям

Правильный ответ может быть НАЙДЕН различными методами. А "геометрический смысл" этой математической головоломки именно в том, что площадь (2D) может быть представлена не только "квадратными" единицами измерения.
Вытянутый по диагонали Большого Прямоугольника (со сторонами 5 х 13) ПАРАЛЛЕЛОГРАММ как раз и составляет РАЗНИЦУ = 65 - 64 = 1.
Но так уж "укоренилось" на бытовом уровне понимания ЕДИНИЦ измерения площади, что "визуально" ищется именно ПРЯМОУГОЛЬНАЯ фигура - КВАДРАТНЫЙ элемент, а не "вторая степень измерения".

А из-за "традиционно-кубических" представлений ОБЪЁМА (3D) получаются более сложные "иллюзии пространства", ... чем весьма эффектно пользуются профессиональные иллюзионисты и многие художники - например, Мауриц Эшер: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1 ... 0%B8%D1%81

[Rados]

Вот пример аналогичной "оптической 3D-иллюзии":
Поток воды из "горизонтального" направления переходит в "вертикальный" (относительно Наблюдателя), а затем снова "превращается в горизонтальный"!
М А Г И Я ? ! !

[Павел]

Знакомая картинка, конечно я не Сальвадор Дали, но квадрат-перевёртыш и сам изображу без труда, или ещё-какой нехитрый 3D - невозможный, но вполне складный 2D - объект.
Вопрос в мышлении - образное - будет искать квадрат, математическое - потерянную площадь...
...
Как найти внутреннюю диагональ параллелепипеда (в конкретном случае: спичечного коробка) имея лист бумаги, линейку, карандаш, ну и сам объект?

[Rados]

имея лист бумаги, линейку, карандаш, ну и сам объект?

"Сам Объект" в реальности всегда ТРЁХмерен.
"Диагональ палаллепипеда" - это УСЛОВНАЯ линия (1D), которой в реальности НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
Следовательно, РАЗМЕР диагонали параллелепипеда можно только ВЫЧИСЛИТЬ математически и (желательно) ПОКАЗАТЬ результат на чертеже или цифрами с единицами измерения.

Но если предположить "чисто аналитически", то такая диагональ = 50 : 7

[Павел]

Методика:
На край листа бумаги кладём коробок.
Карандашом отмечаем точку на листе - там, где угол коробка оказался внутри листа (в смысле - не на краю).
Относительно отмеченной точки - разворачиваем коробок на 180[tex]^\circ[/tex] (либо переставляем его соответствующим образом).
Линейкой измеряем расстояние от угла листа - до верхнего угла коробка.
...
Понимаем, что прямое измерение (в смысле - действие линейкой) - точнее, чем опосредованно вычисленное из нескольких.
...
Линия-то есть, только коробок мешает к ней подобраться, но можно убрать коробок из реальности, оставив линию (её геометрическое положение)!
Измеряющий не ограничен коробком, коробок отложат - принявшись за расчёт, а изнутри коробок померить ещё проще - если спички не помешают. /толщину стенок коробка обсуждать не станем, абстракция, всё-ж таки/
...
А как можно решить данную задачу быстрее и ещё точнее?

[Rados]

как можно решить данную задачу быстрее и ещё точнее?

Можно ВЫНУТЬ из коробка "ящик" со спичками и "внедрить" (сложить) образовавшуюся оболочку в поверхность 2D. Боковая поверхность коробка образует с верхней поверхностью ОДНУ общую "площадку" ПРЯМОугольной формы (2D). А расстояние (1D) между противоположными "вершинами" будет равно диагонали спичечного коробка в 3D.
Такие "задачки" решаются методами начертательной ГЕОметрии.
А как ДОКАЗАТЬ НЕВОЗМОЖНОСТЬ построения "Водопада" по картинке Эшера - это задачка из топологии.

Но такого раздела в этом Математическом Форуме нету, поэтому ничего "доказывать" МЫ здесь не будем, Павел!

[Павел]

Быстрее:
- использовать штангельциркуль либо микрометр.
Точнее:
- названным измерительным устройством выполнить несколько серий прямых последовательных измерений всех четырёх возможных вн.диагоналей и вычислить арифметическое среднее.

[Павел]

Пример реального 2D объекта:
- тень.

[Rados]

Пример реального 2D объекта:

"Навести тень на плетень" тоже можно...
Но это уже "не в тему", ибо задача "про +1 "квадратик" РЕШЕНА.

Про "конус тени" здесь старается доказать (кому-то) Пивень Григорий Иванович.

[Rados]

Для завершение "дискуссии про КВАДРАТЫ" даём топологическую разгадку головоломки Эшера "про Водопад".
Мариус Эшер искуссно ВПИСАЛ "ленту Мёбиуса" в своё изображение (2D) "реального Объекта". На самом деле ЗАМКНУТАЯ поверхность "воды" (на схеме показана синим цветом) представляет собой гибкую ленту с перевёрными концами, которые "склеены в нулевой точке" (жёлто-синий кружок с ДВУМЯ "нулевыми векторами). Все прочие "атрибуты" этого архитектурного "сооружения" просто маскируют этот топологический ФОКУС на поверхности картины (2D).

[Rados]

Если попытаться взглянуть на "Супрематический квадрат" Малевича с обратной стороны, то в реальном пространстве (3D) нам этого никто не позволит!
Но с помощью компьютера можно себе представить даже и такой "фокус":

[Rados]

С помощью зеркала МЫ может представить отображение "одностороннего" листа Мёбиуса в трёхмерном пространстве.
Для этого вырежем из листа Мёбиуса ПРАВИЛЬНЫЙ КВАДРАТ (например, синего цвета) и соединим углы этого квадрата, не сгибая.
Тогда каждая диагональ квадрата "превратитСЯ" в ЗАМКНУТУЮ кривую (эллипс), и такой квадрат будет "гомеоморфен" 2D-сфере!
При этом площадь такого "сферического квадрата" будет равна площади исходного (плоского) квадрата.

[Rados]

А если шахматную доску сделать не 8 х 8, а 7 х 7?
Всего фигур на таком "поле" поместится 28 штук = 14 чёрных + 14 белых.
Но чёрных клеток будет на одну больше, чем белых клеток! И эта "лишняя клетка" окажется в самом центре шахматной доски 7 х 7.

[Rados]

Задачка может быть немного упрощена:
Надо найти "трёхцветную группу" площадь которой равняется семи квадратикам.