Задачка из ТОПОЛОГИИ "про ноль в бесконечности".

[Павел]

Вот уж чего точно делать я не собирался, так это Вас обидеть!
...
О том, что в книжке 1982 года издания - нет такой фотографии - как-нибудь я догадываюсь /скульптурка то посвежее будет /
...
Понимаю, что монумент увиденный навеял Вам определённые математические ассоциации.
/Может и я бы рад кому-то рассказать про ассоциации свои - с некоторыми предметами и явлениями - только они часто сложны, громоздки, и мало кто способен их понять, а уж тем-более - проверить правильность...;(/
...
Только вопрос остаётся прежним: К чему это обсуждение?
/Если вопрос в том, на сколько сложно "бублик", что на фото - из "8ки" вытащить - так для этого, при любом коэффициенте зацепления - достаточно его разорвать и малость разогнуть.../

[Rados]

практическое применение модели, а не произвольные ассоциативные представления второго порядка

Модель "автогонки по Формуле-1" подойдёт или понятнее будет "гонки по вертикали на мотоЦИКЛЕ"?
Топология изучает более ОБЩИЕ свойства пространств, из которых МЫ (в данном случае) будем рассматривать:
(0D) - это точка. Никаких измерений в ней нету вообще.
(1D) - это расстояние между ДВУМЯ точками (отрезок). Измеряется длиной ПУТИ (от . до .) - хоть по прямой линии, хоть по кривой (по окружности или по извилистой линии). Едницы измерения - в первой степени, например а ... или b.
(2D) - это площадь поверхности. Измеряется как произведение линейных размеров (а х b = S), единицы измерения обычно "во второй степени".
(3D) - это ОБЪЁМ. Измеряется как произведение площади на линейный размер (S x h), единицы измерения обычно "в третьей степени", но могут быть и в "штуках" - баррелях, бочках, литрах и тп.
Изменение взаимного РАСПОЛОЖЕНИЯ объектов в пространстве (называемое ДВИЖЕНИЕМ) происходит в "четвёртом измерении" - за определённый ПЕРИОД времени (t). Показать "отрезок времени" геометрически (или топологически) МЫ здесь не может, так ведь?! Поэтому (пока) обойдёмся вышеупомянутыми ТОПОЛОГИЧЕCКИМИ СВОЙСТВАМИ изображённых графически (на схемах в 2D) ФИГУР, но при этом будем УЧИТЫВАТЬ взаимное расположение их частей относительно друг друга в пространстве 3D - "ассоциативно" (выше - ниже, дальше - ближе, справа - слева).
При этом как бы "абстрагируясь" от цифрового (количественного?) значения графических символов 8 / 0.

Если согласы - "поедем дальше"...

[Rados]

Дополнительное пояснение - из той же книжки "про топологию":

[Rados]

Следующее пояснение "про восьмёрку":
Переходим от линии (1D) на плоскости (2D) "на порядок выше": к поверхности 2D в трёхмерном пространстве,
Чтобы СДЕЛАТЬ из "разорванной" восьмёрки", которая стала "крестиком" Х , снова восьмёрку (но уже в виде ПОЛОСЫ 2D) СОЕДИНИМ концы креста ВОКРУГ цилиндрической поверхности.
И получится точно такая же ФИГУРА, как я ВАМ показывал на фото (на фоне окна - чтобы "без зеркала"). Слово "ремень" заменим на термин "полоса".

Теперь понятнее или добавить чо-нить "по-научнее"?

[Rados]

"бублик", что на фото

Термин "бублик" тоже ГОДИТЦА!
Тогда "восьмёрка" - это "бесконечный креднель"

[Rados]

Есть ещё одна "аналогичная задачка" (не про ВДНХ-80).
Если разрезать ровно пополам (вдоль) т.н. "одностороннюю" ленту Мёбиуса, то получается фигура в трёхмерном пространстве (см. на фото). А если так же разрезать "обычный" обруч, то получится ДВА таких же обруча с площадью = S/2 каждый.
Если разрезать ровно пополам (вдоль) т.н. "ленту Radosa", то тоже получается ДВЕ таких же "бесконечных восьмёрки" с площадью = S/2 каждая. Но резать свой ремень ЖАЛКО, поэтому предлагаю сделать это "аналитически" (мысленно).

[Rados]

Павел писал:

возражений и вопросов вербального характера - могу привести весьма много

Для того и ФОРУМ, чтобы задавать всякие вопросы ПО ТЕМЕ и пытаться дать на них ПОНЯТНЫЕ ответы, так ведь, Павел?
Это только наши Доблестные Чиновники "решают НАШИ вопросы", а не математические задачки месяца
Не хочу лишний раз "хвалиться своими достижениями" в ТОПОЛОГИИ, но многие такие задачки решаются именно АНАЛИТИЧЕСКИ - без вычислений и "цифровизации". Вы же и сами как-то раз утверждали, что "если ПОВЕРИТЬ в какую-то гипотезу и принять её за аксиому, то эту гипотезу можно ПРОВЕРИТЬ аналитически" ... со временем, конечно!
А в этом разделе Форума предполагаются не "Задачи Тысечелетия", а вполне решаемые "задачи", которые уже имеют какой-то ОПРЕДЕЛЁННЫЙ вариант ответа. И время решения никто не ограничивает - здесь же не ЕГЭ (не к ночи помянуто!)...
Лично я, например, тоже как бы "удивился" тому, что Гипотезу Пуанкаре "о трёхмерной сфере" надо было сначала ДОКАЗЫВАТЬ алгебраическими методами! Хотя аналогичные задачки были упомянуты в этой самой брошюрке "про наглядную топологию". И я нисколько не сомневался в том, что Перельман ВСЕ ЭТИ ЗАДАЧКИ уже давно решил каким-то СВОИМ "математическим методом"!

Но если у Вас есть какие-то возражения и вопросы вербального характера - сформулируйте их именно ПО ТЕМЕ, чтобы "не растекаться мыслью по древу"!

[Rados]

Если разрезать ровно пополам (вдоль) т.н. "одностороннюю" ленту Мёбиуса,

В реальном ТРЁХМЕРНОМ пространстве "одностороних" не встречается, это просто "абстрактное допущение".
Но всё же ПОПРОБУЙТЕ сами - на макете такого "мёбиуса" ... ... недорезанного

[Павел]

А поверхность Мёбиуса может быть двусторонней (ну если допустить её нулевую толщину)?

[Павел]

Вот если обруч разрезать пополам вдоль - получится два обруча и между ними КЗ=0.
А у разрезаемой вдоль ленты Мёбиуса, получается КЗ=[tex]\infty[/tex]?

[Rados]

В этом как раз и заключается ДЕМОНСТРАЦИЯ "в натуре" ленты Мёбиуса как ОДНО-стронней поверхности (2D)!
При "делении пополам" ШИРИНЫ (1D) сама лента (2D) "пополам" НЕ ДЕЛИТСЯ, а её площадь остаётся неизменной... Потому что с увеличением ширины меняется и её ДЛИНА (х 2)! А отделить "в сторону" ОДНО-стороннюю поверхность можно только ЦЕЛИКОМ!
В случае с обручем (так же и с "лентой Radosa") "МЫ" имеем дело с ДВУсторонними поверхностями, поэтому отделить их можно в РАЗНЫЕ стороны.
С объёмными фигурами (3D) такое РАЗ-Ъединение делается ещё нагляднее, потому что можно ОТДЕЛИТЬ один слой от другого "в натуре".
Например, пряжка на ремне - это "точка разбиения" только ОДНОГО слоя (без толщины), причём этот (верхний?) слой НЕ СВЯЗАН с верхним слоем, который расположен НИЖЕ (или дальше?) по отношению к "НАМ".
А если нижний слой "ленты Radosa" не приклеен к какой-то другой поверхности (например, к географической КАРТЕ), то такая лента (2D) в трёхмерном пространстве ДЕЛИТСЯ на две ОТДЕЛЬНЫЕ ленты - так же как и "обыкновенный" обруч (2D)!
Отдельные ЗАМКНУТЫЕ фигуры не имеют никакого зацепления (КЗ = 0) между собой, если такого зацепления не было "предусмотрено".
Но дело в том, что "НА плоской восьмёрке" (в виде "ленты Radosа") демонстрируется ПЕРЕСЕЧЕНИЕ параллельных линий как краёв поверхности 2D.
То есть, на отдельных участках (в езде) красная и синия линии всегда параллельны центральной оси и между собой. Но в проекции на СФЕРУ они обе пересекаются.
Если как бы "приложить" эту топологию на "гонки по формуле-1", то при заносе автомобиля (3D) на повороте траектория его "полёта" пересекает ВНЕШНЮЮ черту - в зависимости от направления ПО или ПРОТИВ часовой стрелки - либо красную, либо синюю. Но в этом случае (при автогонках) "МЫ" должны учитывать соотношени пути (1D) и времени (скорость = 1D/t), а так же МАССУ автомобиля как бы "пятое измерение (m)".

[Павел]

В общем, если ленту Мёбиуса разрезать вдоль пополам дважды - на второй раз - она разделится.
...
А если две сомкнутые (проходящие друг через друга) ленты Мёбиуса разрезать пополам - каждую - что получится? А на второй раз...?

[Rados]

если ленту Мёбиуса разрезать вдоль пополам дважды

Вопрос, конешно, ИНТЕРЕСНЫЙ!
А может сразу на ТРИ части вдоль?
Я сам не пробовал, но "если чисто математически", то одно из ДВУХ: либо разделитСЯ, либо НЕ разделитца!
Догадываюсь, что ЕСЛИ "ленту Radosа" НЕ разрезать дважды пополам и ПОПЕРЁК, ... а просто расстегнуть пряжку, то опять получится мой ремень!
Длина, ширина и толщина у него останутся прежними.
Площадь тоже не изменится, а значит и ОБЪЁМ (3D) тоже останется ЦЕЛЫМ ЧИСЛОМ = 1.

[Павел]

Объём ремня то, как-раз - может и изменится - это зависит от конструкции пряжки и метода определения объёма!
...
А вот если сразу на три части ленту резать - может и односторонняя поверхность получиться!?

[Rados]

Увы, Павел!
В нашем (грешном?) ТРЁХ-мерном Мире не бывает никаких "односторонних" Мёбиусов или "двусторонних" Radosov!
Потому что уже ДОКАЗАНА гипотеза Пуанкаре "о трёхмерной СФЕРЕ", хотя многие из некоторых Высших Математиков в это ещё НЕ ВЕРЯТ!
Но так и быть - "кто не верит - пусть проверит"!
На фото "лента Мёбиуса" разрезанная "однажды" сразу на ТРИ части. В результате имеем бесконечную "восьмёрку" и "односторонний "ноль" в трёхмерном пространстве!
При этом обе фигуры составляют вместе ДВА кольца с КЗ = 1.
Но взаимное расположение этих фигур НА ФОТО можно менять "по своему усмотрению" - даже без зеркала и стеклянного стола!
Можно даже предположить, что одна из этих фигур - "Бублик", а другая - "Крендель"!

А нарисовать такие фигуры в Photоshopе сейчас УМеет "Любой Дурак"

[Rados]

Даю ещё одну подсказку "про Мёбиуса/на ТРИ части".
Если предварительно раскрасить "лист Мёбиуса" в ТРИ цвета (например - как Российский триколор), то после разрезания "однажды на три части" получившийся "ноль" окажется весь СИНЕГО цвета!
А каким цветом окажется "восьмёрка"?

[Павел]

У меня сегодня времени попробовать не нашлось, но примерно так я себе этот результат и представил, пока за рулём ехал.
...
Действительно, Вы абсолютно правы с флагом - цвета не сойдутся, и линия реза - неким образом пересечётся в 3D. "Свёрнутая" поверхность, как "вещь в себе" - в 1D. Но её "разворачивают" - 1 рез (пополам) - в 2D, 2 реза - в 3D. Режем дальше?
...
Вот мы и обнаружили попутно, то, что породило Вашу ассоциацию с монументом ВДНХ /на второй схеме (из "памятника" переделанной)/.
...
Гипотеза Пуанкаре - не трёхмерность пространства подтверждает, скорее: стремление мира к хаосу.
Кто тут в рассуждениях про Формулу-1, про "...как бы "пятое измерение (m.)" - пишет? Понятно, что "как бы", но ведь 5е, и это нормально для математики. Реальной полной метрики пространства мы (люди), с высокой вероятностью - не знаем. Представить себе визуально - не можем (пока?), а вот применить математические методы описания - вполне! С "теорией струн" - знакомы? Вот лента Мёбиуса - как - раз и есть струна в доступной нам метрике - свёрнутое измерение! /Не исключено, что и время - тоже "струна"!? Вот ползём мы вдоль некоей , допустим: "ленты Хромибиуса", а скорее - она сама так относительно нас движется... (: Однажды - надоест Хромибиусу лента в таком виде, и разрежет её, при чём - частей так на 6...(>3), при этом, в равномерном и прямолинейном движении - останется лишь одна из частей, но в развёрнутом (из 1t в величину >1t.), а остальные - будут на ней произвольным образом "болтаться"... - вот жизнь весёлая начнётся.../
...
Если резать пов.Мёбиуса на >3 частей, из-за пересечений линий реза - ещё что-нибудь будет "отслаиваться", вероятно, с зацеплением!? А вот два "Мёбиуса" с КЗ=1 - могут дать весьма неожиданный результат, например в тройном разрезе!
...
https://professionali.ru/citations/konfuciy/8.html

[Rados]

обнаружили попутно, то, что породило Вашу ассоциацию с монументом ВДНХ

Об этом я написал в самом начале этой "задачи месяца", а сама выставка (ВДНХ) находится в какой-то КОНКРЕТНОЙ ЧАСТИ трёхмерного пространства Вселенной.
Но МЫ при этом рассматриваем не весь ОБЪЁМ этого "пространства выставки", а только этот самый ТРЁХ-мерный монумент, состоящий из ДВУХ объёмных фигур.
ТОПОЛОГИЯ как раз и занимается (О)предел(ением) связей между различными "пространствами", абстрагируясь от "арифметических" (цифровых?) величин и чисел.
Поэтому в условиях "задачи" НЕ БЫЛО других "измерений", кроме
(0D) - нуль-МЕРНОЕ "пространство" точек
(1D) - одно-МЕРНОЕ "пространство линий
(2D) - двух-МЕРНОЕ "пространство" поверхностей
(3D) - трёх - МЕРНОЕ "пространство" ОБЪЁМОВ
-------------------------------------------------------------------
Итого уже 4 взаимо-СВЯЗАННЫХ "пространства".
(5D) - можно "рассматривать" как МАССУ какого ОБЪЁМНОГО 3D-тела в вакууме - в "пустом" подмножестве точек (0D).
А для того, чтобы отобразить ДВИЖЕНИЕ графически (на схеме, чертеже или на 2D-фото) требуется измерять какую-то ЧАСТЬ ВРЕМЕНИ (1/t).

Деление "ленты Мёбиуса" (1D) - топологически представляется как "расслоение" толщины на 2 или 3 части, то есть 1/2 или 1/3 часть ОДНО-мерной фигуры. При этом "в натуре" (в 3D) эта фигура может быть представлена как бескрайняя поверхность 2D ограниченная ЛИНИЕЙ, то есть (2D) - (1D) = 1D, то есть (условно) это некая ЛИНИЯ (1D), имеющая толщину "а", длину которой МЫ не учитываем, потому что эта "линия" (1D) ЗАМКНУТА "сама на себя".
А чем тогда ОТЛИЧАЕТСЯ "лента Radosа" от "ленты Мёбиуса" ТОПО-ЛОГИЧЕСКИ?
А именно тем, что у "ленты Radosa" ДВЕ стороны поверхности "без толщины", то есть это фигура двух-МЕРНАЯ (2D)! А так как она тоже ЗАМКНУТА "сама на себя", то МЫ не учитываем её длину, а толщину представляем как ШИРИНУ ленты. Толщина "а" умножается на ширину "b" = (1D) + (1D) = 2D . При этом "точка разбиения" (в виде пряжки на ремне) топологические представляет собой отрезок (1D), соединяющий крайние концы "ленты Radosa".
А в трёх-МЕРНОМ пространстве берём ножницы и разрезаем (фактически ДЕЛИМ на части) этот самый ОТРЕЗОК 1D, который расположен ПОПЕРЁК ленты.
Но при этом лента (2D) - у Radosa и у "обычного" обруча - распадается на части, а у Мёбиуса выпадает только "центральная линия" (синяя в триколоре), при этом оставаясь по-прежнему "односторонней" поверхностью "листа Мёбиуса" и связанной с основным "листом" т.н. "коэффициентом зацепления = 1.

Понять такие ОТОБРАЖЕНИЯ (есть такой термин в топологии) можно только на НАГЛЯДНЫХ примерах в "обычном" ТРЁХ-мерном пространстве ... в 3D-атмоСФЕРЕ, например.
Для демонстрации 3D-сферы у нас есть ещё т.н. "лента Пуанкаре", но (пока) считаем, что для Форума ДОСТАТОЧНО сравнения двух представленных здесь "лент" - Мёбиуса и Radosa.

[Rados]

надоест Хромибиусу лента в таком виде, и разрежет её, при чём - частей так на 6...(>3)

Значит, этому ... как его ... Хромибиусу ещё "не надоело".
Перельману вот надоело ДОКАЗЫВАТЬ гипотезу Пуанкаре, поэтому он применил т.н. "потоки Риччи С ХИРУРГИЕЙ*", а не какие-то "струны"!
На струнах ещё исполнял всякую Музыку некто Риччи Блэкмор, но это относится не к Высшей Математике, а к т.н. "АККУСТИКЕ в пространстве 3D".

* Хирурги́я (др.-греч. χειρουργική, от др.-греч. χείρ — рука и ἔργον — действие, работа).
Мне часто тоже так и говорят: "Тыбля тут не умничай - РУКОЙ ПОКАЖИ!"
Но "рукой" могу показать только НА ФОТО (в один момент = 1/t) ... или уже готовый результат РАБОТЫ, а не сам ПРОЦЕСС (КАК это делаетца)!

[Rados]

Вот Павел даёт ещё "подсказку от Самого Конфуция":

Обучай только того, кто способен, узнав про один угол квадрата, представить себе остальные три.

Очевидно эта "подсказка" касается ПРЯМОГО УГЛА?
А вот, например, Древние Египтяне НЕ ЗНАЛИ, что прямой угол равен Pi : 2, поэтому строили свои пирамиды при помощи своих "египетских треугольников" - со сторонами 3, 4, 5. Причём этот ПРЯМОЙ угол оказывается всегда между сторонами 3 и 4. А если сторона 5 является ДИА-метром, то прямой угол лежит ТОЧНО на окружности радиусом = 5 : 2.
Узнав "про это" Евклид научил своих "евклидовцев" делать всякие ТРИ(гоно)МЕТРИЧЕСКИЕ расчёты.
При этом "всякий ТРЕугольник разбивает поверхность 2D на две части - внутреннюю и внешнюю", а контур треугольника (1D) гомеоморфен контуру квадрата и окружности.
Это доказывать уже не надо никому, потому что это - АКСИОМА!