окружности аполония

[Гость]

Дана окружность, построить геометрически две точки с отношением соответсвующим окружности аполлония

[Гость]

Окружности Аполлония:
Каждая голубая окружность пересекает каждую красную под прямым углом.
Каждая красная окружность проходит через две точки (C и D), и каждая голубая окружность окружает только одну из этих точек.

Apollonian_circles.svg.png (127.39 КБ) Просмотров: 62

[Гость]

Имеется в виду задача, обратная посторению окружности Аполлония. Для данной окружности найти две точки, отношение расстояний от которых до любой точки данной окружности постоянно. Как найти эти точки геометрически?

[Гость]

quote="Гость"]Имеется в виду задача, обратная посторению окружности Аполлония. Для данной окружности найти две точки, отношение расстояний от которых до любой точки данной окружности постоянно. Как найти эти точки геометрически?[/quote]

См. рисунок.

Б.И.Аргунов и М.Б. Балк Геометрические построения на плоскости

Bildschirmfoto vom 2023-10-22 10-23-39.png (33.8 КБ) Просмотров: 55

[
Дана окружность с диаметром MN, PB и PN - биссектрисы внутреннего и внешнего углов, точка P - произвольная точка не окружности, найти геометрически точки A и B отношение расстояний от которых до любой точки P данной окружности постоянно. Как найти эти точки геометрически?

[Гость]

Имеется в виду задача, обратная посторению окружности Аполлония. Для данной окружности найти две точки, отношение расстояний от которых до любой точки данной окружности постоянно. Как найти эти точки геометрически?

См. рисунок.

Bildschirmfoto vom 2023-10-22 10-23-39.png

[
Дана окружность с диаметром MN, PM и PN - биссектрисы внутреннего и внешнего углов, которые неизвестны, точка P - произвольная точка не окружности, найти геометрически точки A и B отношение расстояний от которых до любой точки P данной окружности постоянно. Как найти эти точки геометрически?

[/quote]

[Гость]

Б.И.Аргунов и М.Б. Балк Геометрические построения на плоскости

Bildschirmfoto vom 2023-10-24 14-26-11.png (41.45 КБ) Просмотров: 46

Задача, обратная посторению окружности Аполлония.
Для данной окружности MQN найти две точки A и B, отношение расстояний от которых AQ и BQ до любой точки Q данной окружности постоянно. Как найти эти точки геометрически?
Ход решения:
Задача сводится к построению такой точки C и точки B, что CB = BD = BQ. Найдя точки C и B, и проводя AQ параллельно CB, получим вторую половину угла AQB, для которого MQ является биссектрисой. Первая половина угла AQB есть угол MQB. Таких пар точек A и B для данной окружности много, но каждая пара определяет одно постоянное отношение.
Построение:
Продолжая катеты MQ и QN, достраиваем прямой угол MQN до равнобедренного треугольника, соединяем середины полученной гипотенузы и продолжение катета, построенного на QM, и получаем прямую линию, которая пересекает диаметр MN в точке B и делит любую прямую, выходящую из вершины построенного на QM катета пополам. Циркулем от точки B, пересечения полученной прямой линии и диаметра MN, с расстоянием от точки Q до точки B, пересечения полученной прямой линии и диаметра MN, пересекаем продолжение катета QM и получаем точку C. Проведя линию через точку пересечения B и точку C, получаем точку D. Таким образом построили CB = BD = BQ, что и требовалось.