1. Дан набор произвольного количество кругов произвольного радиуса. Необходимо найти минимальный круг, по периметру которого можно расположить центры данных кругов, так, чтобы круги не пересекались.
2. Дан набор произвольного количества кругов произвольного радиуса. Необходимо найти минимальный круг, по периметру которого можно расположить данные круги, так, чтобы они не пересекались.
У меня нет решения данных задач, поэтому я поделюсь тем, как я пытался их решить, и буду надеяться, что на этом форуме есть гений, способный завершить решения.
1. Основной круг можно разделить на множество парных равнобедренных треугольников, основания которых будут равны радиусам данных кругов, а стороны будут равны искомому радиусу. При этом сумма углов противолежащих основанию всех равнобедренных треугольников равна 360.
Преобразовываем формулу равнобедренного треугольника: [tex]\cos{2\times\alpha_{n}} = -\frac{R_{n}}{2\times R}; \sum\alpha_{n} = 180^{\circ}; R=[/tex]?
Объединяем формулы: [tex]\sum\arccos{-\frac{R_{n}}{2\times R}}=360^{\circ}[/tex]
Вывести из этой формулы R мне не удалось. Возможно я иду не тем путем, в чем то ошибся или не вижу очевидных следующих шагов. А вы?
2. Основной круг можно разделить на множество треугольников, сторонами которых будут суммы их радиусовоснования которых будут равны радиусам данных кругов, а стороны будут равны искомому радиусу. При этом сумма углов противолежащих основанию всех равнобедренных треугольников равна 360.
Используем формулу нахождения угла по трем сторонам треугольника: [tex]\cos{\alpha_{n}} = \frac{(R+R_{n} )^{2}+(R+R_{n+1})^{2}-(R_{n}+R_{n+1})}{2\times(R+R_{n})\times(R+R_{n+1})}; \sum\alpha_{n} = 360^{\circ};[/tex]
Объединяем формулы: [tex]\sum\arccos{\frac{(R+R_{n} )^{2}+(R+R_{n+1})^{2}-(R_{n}+R_{n+1})}{2\times(R+R_{n})\times(R+R_{n+1})}}=360^{\circ}[/tex]
Для последнего n, n+1 = 0
Вывести из этой формулы R мне так же не удалось. Возможно получится у вас.