Помогите доказать, что можно составить треугольник?

[Гость]

На сторонах АВ и ВС треугольника АВС выбраны точки Р и Q соответственно. Отрезки СР и AQ пересекаются в точке R. Оказалось, что AR = CR = PR + QR. Докажите, что из отрезков AP, CQ и PQ можно составить треугольник, один из углов которого равен углу В.

[Гость]

Пусть AR = CR = a, PR = p, QR = q, так что p + q = a. Точка M — середина AC. Так как AR = CR, то RM ⊥ AC.

**1. Построение.** Возьмём точку D так, чтобы PQCD был параллелограммом. Тогда PD = QC, PD ∥ QC и DC = PQ.

**2. D лежит на серединном перпендикуляре к AC.** Спроектируем P и Q на прямую AC.

- P лежит на продолжении CR за точку R, причём RP = p. Её проекция находится на расстоянии (p/a)·MC от M в сторону A.
- Q лежит на продолжении AR за точку R, причём RQ = q. Её проекция находится на расстоянии (q/a)·AM от M в сторону C.

Значит, проекция отрезка PQ на AC равна (p+q)/a · AC/2 = AC/2. Вектор CD равен вектору QP, поэтому D проецируется точно в M. Следовательно, DA = DC = PQ.

**3. Треугольник.** В треугольнике APD стороны такие: AP, PD = CQ, AD = PQ. Значит, из отрезков AP, CQ и PQ можно составить треугольник.

Луч PA направлен так же, как луч BA. Луч PD параллелен лучу QC и сонаправлен с ним, то есть направлен так же, как BC. Поэтому ∠APD = ∠ABC = ∠B.