Задача из сборника под редакцией М.Сканави 10.364

[Гость]

Уважаемые форумчане! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей 10.364 из сборника М.Сканави

В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точки касания делят боковую сторону на отрезки длиной m и n, считая от вершины, к окружности проведены три касательные, параллельные каждой из сторон треугольника. Найти длины отрезков касательных, заключенных между сторонами треугольников.

[Гость]

Для какого класса ето задание ?

[Гость]

Это задача для поступающих в вузы, задача из группа повышенной сложности.

[Гость]

Можете ли вы дать ответы ?

[Гость]

Отрезок, который расположен между боковыми сторонами равен 2mn/m+2n это у меня получилось, а вот отрезки, которые расположены между боковой стороной и основанием равны n(m+n)/m+2n, вот это у меня не получается.

[Гость]

Я получила ответы .
Я отправляю свое решение рано утром .

[Гость]

Большое спасибо

[Гость]

Пъсть РТ будет отрезком ,которые расположены между боковой стороной и
основанием (т.Р[tex]\in[/tex]АС ,т.Т[tex]\in[/tex]АВ)
у=РТ=?
Пусть РТ касается окружности в т.Е .
Сторона АС касается окружности в т.Q .
Сторона АВ касается окружности в т.Н ( Биссектриса угла СО совпадает с высотой СН )

PE=PQ ;TH=TE ;AH=AQ поскольку они касаются окружности из внешней точки

Мы смотрим [tex]\triangle[/tex]АТР [tex]\approx[/tex] [tex]\triangle[/tex]АВС (1)
Они имеют равные углы ,потому что РТ || ВС

[Гость]

продолжение
PE= PQ=AQ-AP =n-y

TE+PE= PT ;TE+n-y=y ;TE=2y-n
TH=TE=2y-n
AT+TH= AH ;AT+2y-n=n ;AT=2(n-y) (2)
От (1) и [tex]\triangle[/tex]АВС -равнобедрнный [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АТР -равнобедренный и AP=PT=y (3)

К идее [tex]\triangle[/tex]ATP[tex]\approx \triangle[/tex]ABC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AT}{AB} =\frac{AP}{AC}[/tex]

[tex]\frac{2(n-y)}{2n} =\frac{y}{m+n}[/tex]

ny= mn+[tex]n^{2 }[/tex] -my-ny

(m+2n)y =n(m+n)

y=[tex]\frac{n(m+n)}{m+2n}[/tex]

Решение из Болгарии

[Гость]

Спасибо большое, сижу разбираюсь, сегодня или завтра напишу, если появятся вопросы.

[Гость]

Все, разобралась, давно не решала задачи по геометрии и забыла про равенство отрезков касательных. Большое Вам спасибо.

[Гость]

И я благодарю вас за вашу вежливость .