Найдите все натуральные числа, каждое из которых равно кубу

[Гость]

Найдите все натуральные числа, каждое из которых равно кубу суммы различных цифр, встречающихся в его десятичной записи.
При вычислении суммы каждая цифра, встречающаяся в десятичной записи числа, учитывается ровно один раз.

[Гость]

Сумма различных цифр не больше [tex]0+1+\ldots+9=45[/tex], поэтому [tex]N=k^3[/tex] при [tex]k\le 45[/tex]. Перебираем кубы от [tex]1^3[/tex] до [tex]45^3[/tex] и проверяем, равна ли сумма различных цифр числа [tex]k^3[/tex] самому [tex]k[/tex]. Это выполняется только в семи случаях:

[tex]1=1^3[/tex]

[tex]343=7^3,\quad 3+4=7[/tex]

[tex]512=8^3,\quad 5+1+2=8[/tex]

[tex]3375=15^3,\quad 3+7+5=15[/tex]

[tex]4913=17^3,\quad 4+9+1+3=17[/tex]

[tex]5832=18^3,\quad 5+8+3+2=18[/tex]

[tex]19683=27^3,\quad 1+9+6+8+3=27[/tex]

Для остальных [tex]k\le 45[/tex] равенство не выполняется. Например, [tex]3^3=27[/tex] даёт [tex]9[/tex], [tex]14^3=2744[/tex] даёт [tex]2+7+4=13[/tex], [tex]45^3=91125[/tex] даёт [tex]9+1+2+5=17[/tex].