Восемь разных цифр. Насколько маленькой может быть сумма?⁠

[Гость]

Настя составила из восьми различных ненулевых цифр четыре двузначных числа так, что сумма двух из них равна сумме двух других.

Не используя компьютерный перебор, определите наименьшее возможное значение этой суммы.

[Гость]

Ответ: [tex]63[/tex].

Пусть [tex]S[/tex] — эта сумма. Сложим все четыре числа:
[tex]2S = 10T + U[/tex], где [tex]T[/tex] — сумма цифр десятков, [tex]U[/tex] — сумма цифр единиц.

Использованы восемь из девяти цифр [tex]1, 2, \ldots, 9[/tex], значит не хватает только одной и [tex]T + U \geq 45 - 9 = 36[/tex].
Цифры десятков — четыре разные цифры, поэтому [tex]T \geq 1 + 2 + 3 + 4 = 10[/tex].

Тогда [tex]2S = 9T + (T + U) \geq 90 + 36 = 126[/tex], то есть [tex]S \geq 63[/tex].

Пример: [tex]15 + 48 = 26 + 37 = 63[/tex].