В десятичной записи некоторого натурального числа все цифры

[Гость]

В десятичной записи некоторого натурального числа все цифры различны.

Если удалить у этого числа последнюю цифру, получившееся число будет делителем исходного.

Если удалить первую цифру, получившееся число тоже будет делителем исходного.

Каково наибольшее натуральное число с такими свойствами?

Ответ, конечно, нужно обосновать.

[Гость]

Пусть в числе [tex]k+1[/tex] цифра. Отбросим последнюю: [tex]N = 10A + d[/tex], и из [tex]A \mid N[/tex] следует [tex]A \mid d[/tex]. Если цифр хотя бы три, то [tex]A \ge 10 > d[/tex], значит [tex]d = 0[/tex].

Теперь отбросим первую: [tex]N = a \cdot 10^{k} + B[/tex], и из [tex]B \mid N[/tex] следует [tex]B \mid a \cdot 10^{k}[/tex]. Вторая цифра не нуль (ноль уже занят последней), поэтому [tex]10^{k-1} < B < 10^{k}[/tex], а частное [tex]q = \frac{a \cdot 10^{k}}{B}[/tex] лежит между [tex]a[/tex] и [tex]10a \le 90[/tex]. Отсюда [tex]N = B(q+1)[/tex] — и остаётся конечный перебор по [tex]a[/tex] и [tex]q[/tex].

Наибольшее подходящее число — [tex]918750[/tex]: [tex]918750 : 91875 = 10[/tex], [tex]918750 : 18750 = 49[/tex], все цифры различны.