Четыре трёхзначных числа и совпадения по разрядам

[Гость]

Даны четыре различных трёхзначных числа. Назовём число хорошим, если с каждым из данных четырёх оно совпадает ровно в одном разряде.
Какое наибольшее количество хороших трёхзначных чисел может существовать?

[Гость]

Наибольшее количество — 102.

Пример: числа 100, 101, 102, 103 — у всех одинаковые сотни и десятки, а единицы разные.

Хорошее число [tex]\overline{x_1x_2x_3}[/tex] тут бывает только двух видов:

1) [tex]x_1=1[/tex], [tex]x_2 \neq 0[/tex], [tex]x_3 \in \{4,5,6,7,8,9\}[/tex] — совпадение с каждым числом идёт по сотням: [tex]9 \cdot 6 = 54[/tex] числа.

2) [tex]x_2=0[/tex], [tex]x_1 \neq 1[/tex], [tex]x_3 \in \{4,5,6,7,8,9\}[/tex] — совпадение идёт по десяткам: [tex]8 \cdot 6 = 48[/tex] чисел.

Ничего другого нет: при [tex]x_1=1[/tex] и [tex]x_2=0[/tex] совпадений сразу два, а при [tex]x_1 \neq 1[/tex] и [tex]x_2 \neq 0[/tex] пришлось бы иметь [tex]x_3[/tex] равным сразу всем четырём разным единицам. Итого [tex]54+48=102[/tex].

Больше получить нельзя. Каждый разряд разбивает четвёрку на группы с одинаковой цифрой, и число хорошее ровно тогда, когда три выбранные группы (по сотням, по десяткам, по единицам) в объединении дают все четыре числа без пересечений. Разбор всех вариантов таких разбиений даёт максимум именно в случае «два разряда общие, третий у всех разный», то есть 102.