Доказать делимость на 5

[Гость]

Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых четырёх из них делится на 5. Обязательно ли каждое из этих семи чисел делится на 5?

[admin]

Да, обязательно.

Возьмём две четвёрки, отличающиеся ровно одним числом — семи чисел для этого хватает. Обе суммы делятся на [tex]5[/tex], значит и их разность [tex]a-b[/tex] делится на [tex]5[/tex]. Выходит, все семь чисел дают один и тот же остаток [tex]r[/tex] при делении на [tex]5[/tex].

Тогда сумма любых четырёх сравнима с [tex]4r[/tex], то есть [tex]4r[/tex] делится на [tex]5[/tex]. Числа [tex]4[/tex] и [tex]5[/tex] взаимно просты, поэтому [tex]r=0[/tex] — каждое из семи чисел делится на [tex]5[/tex].