В середину числа 2026, то есть между 20 и 26, вставьте цифры

[Гость]

В середину числа 2026, то есть между 20 и 26, вставьте несколько цифр так, чтобы получившееся число делилось на 2027.

Требуется обойтись наименьшим количеством вставленных цифр.

И сколько существует решений с таким количеством вставленных цифр?

[admin]

Меньше четырёх цифр вставить не получится, а с четырьмя решений ровно пять.

Пусть вставлено [tex]k[/tex] цифр, образующих число [tex]D[/tex], где [tex]0 \le D < 10^k[/tex]. Тогда получившееся число равно

[tex]N = 20 \cdot 10^{k+2} + 100D + 26[/tex].

Число 2027 простое и [tex]\gcd(100,\,2027) = 1[/tex], поэтому условие [tex]N \equiv 0 \pmod{2027}[/tex] определяет [tex]D[/tex] однозначно по модулю 2027. Для [tex]k = 1,\,2,\,3[/tex] получаем соответственно [tex]D \equiv 570[/tex], [tex]D \equiv 797[/tex], [tex]D \equiv 1040[/tex] — все они больше, чем максимально возможные 9, 99 и 999, поэтому решений нет.

При [tex]k = 4[/tex] нужно [tex]D \equiv 1443 \pmod{2027}[/tex], а в промежутке от 0 до 9999 таких чисел пять: 1443, 3470, 5497, 7524, 9551. Им отвечают

[tex]20\,144\,326 = 2027 \cdot 9938[/tex]
[tex]20\,347\,026 = 2027 \cdot 10038[/tex]
[tex]20\,549\,726 = 2027 \cdot 10138[/tex]
[tex]20\,752\,426 = 2027 \cdot 10238[/tex]
[tex]20\,955\,126 = 2027 \cdot 10338[/tex]