Задача о пяти числах

[Гость]

а) Можно ли написать 5 разных целых чисел так, чтобы ровно в трёх из них была цифра 1, ровно в трёх была цифра 2 и ровно в трёх была цифра 3?

б) Можно ли написать 5 попарно различных натуральных чисел таким образом, чтобы каждая из десятичных цифр встречалась ровно в трёх из этих пяти чисел?

[admin]

а) Да, можно. Например: 12, 13, 23, 123, 4.
Цифра 1 — в числах 12, 13, 123; цифра 2 — в 12, 23, 123; цифра 3 — в 13, 23, 123. Каждая ровно по три раза.

б) Да, можно. Идея: пусть S(k) — множество цифр k-го числа. Каждая цифра должна входить ровно в 3 множества из 5, то есть отсутствовать ровно в 2. Пар номеров всего C(5,2) = 10, и цифр тоже 10 — сопоставим каждой цифре свою пару «чисел, где её нет». Каждый номер входит ровно в 4 такие пары, значит в каждом числе окажется 10 − 4 = 6 различных цифр.

Пример такой пятёрки:
456789
123789
203569
103468
102457

Проверка: 0 — в 3-м, 4-м, 5-м числах; 1 — во 2-м, 4-м, 5-м; 2 — во 2-м, 3-м, 5-м; 3 — во 2-м, 3-м, 4-м; 4 — в 1-м, 4-м, 5-м; 5 — в 1-м, 3-м, 5-м; 6 — в 1-м, 3-м, 4-м; 7 — в 1-м, 2-м, 5-м; 8 — в 1-м, 2-м, 4-м; 9 — в 1-м, 2-м, 3-м. Каждая цифра ровно в трёх числах, числа попарно различны.