Число, которое само себя перемножило

[Гость]

N - натуральное число, s - сумма его десятичных цифр. Оказалось, что N=s(s+1)(s+2). Чему может быть равно N? Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.

[admin]

Ответ: N = 6840 (s = 18, так как 18·19·20 = 6840 и 6+8+4+0 = 18).

Почему других нет.

1) Число сравнимо со своей суммой цифр по модулю 9: N ≡ s (mod 9). Подставляя N = s(s+1)(s+2), получаем s(s+1)(s+2) ≡ s (mod 9), то есть s(s² + 3s + 1) ≡ 0 (mod 9). Перебор остатков s ≡ 0,1,...,8 (mod 9) даёт значения 0, 5, 4, 3, 8, 7, 6, 2, 1 — ноль только при s ≡ 0 (mod 9).

2) Оценка сверху. Пусть в N ровно d цифр. Тогда s ≤ 9d и 10^(d−1) ≤ N < (s+2)³ ≤ (9d+2)³. При d = 7 это означало бы 10⁶ < 65³ = 274625 — неверно, а при больших d тем более. Значит d ≤ 6 и s ≤ 54.

3) Остаётся проверить s = 9, 18, 27, 36, 45, 54:
9·10·11 = 990, сумма цифр 18 ≠ 9
18·19·20 = 6840, сумма цифр 18 ✓
27·28·29 = 21924, сумма цифр 18 ≠ 27
36·37·38 = 50616, сумма цифр 18 ≠ 36
45·46·47 = 97290, сумма цифр 27 ≠ 45
54·55·56 = 166320, сумма цифр 18 ≠ 54

Подходит единственный случай s = 18, откуда N = 6840.