Решите в простых числах уравнение p^2+q^2=r^2-68

[Гость]

Решите в простых числах уравнение p^2+q^2=r^2-68

[Kreativshik]

Уравнение [tex]p^2+q^2=r^2-68[/tex] равносильно [tex]r^2=p^2+q^2+68[/tex]. По модулю 4, если [tex]p,q[/tex] нечётные, то [tex]p^2+q^2\equiv2\pmod4[/tex], но [tex]r^2\equiv1\pmod4[/tex], противоречие. Значит одно из чисел [tex]p,q[/tex] равно 2.

Пусть [tex]p=2[/tex]. Тогда [tex]4+q^2=r^2-68[/tex], то есть [tex]r^2-q^2=72[/tex], откуда [tex](r-q)(r+q)=72[/tex]. Так как [tex]q,r[/tex] нечётные, оба множителя чётные. Подходят пары [tex](2,36)[/tex], дающая [tex]q=17,r=19[/tex], и [tex](4,18)[/tex], дающая [tex]q=7,r=11[/tex]. Пара [tex](6,12)[/tex] даёт [tex]r=9[/tex], не являющееся простым.

С учётом симметрии [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex] : [tex](p,q,r)=(2,7,11),(7,2,11),(2,17,19),(17,2,19)[/tex].