28N является кубом некоторого натурального числа?

[Гость]

Найди все четырехзначные натуральные числа N такие, что число 28N является кубом некоторого натурального числа.

[Kreativshik]

N=2646
N=6272

[admin]

Разложим: [tex]28N = 2^2 \cdot 7 \cdot N[/tex].

Куб — это когда каждый простой множитель входит в степени, кратной трём. Двойки у нас две (не хватает одной), семёрка одна (не хватает двух). Значит, N обязано делиться на [tex]2 \cdot 7^2 = 98[/tex], а всё остальное в нём должно быть кубом: [tex]N = 98k^3[/tex].

Осталось перебрать k так, чтобы N было четырёхзначным:
[tex]k=3:\ N = 2646,\quad 28 \cdot 2646 = 74088 = 42^3[/tex]
[tex]k=4:\ N = 6272,\quad 28 \cdot 6272 = 175616 = 56^3[/tex]

При k=2 получается 784 (мало), при k=5 — 12250 (уже пятизначное).

Ответ: [tex]N = 2646[/tex] и [tex]N = 6272[/tex].