Модификация ребуса с Турнира Ломоносова

[Гость]

Ребус ШЕ * СТЬ + 1 = СЕ * МЬ, предлагавшийся на Турнире имени Ломоносова в 2010 году, очевидно, решений не имеет.

И поэтому напрашивается другая задача:

При каком набольшем целом (не обязательно натуральном) числе N ребус ШЕ * СТЬ + N = СЕ * МЬ имеет решение?

(Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы — разные; первые цифры многозначных чисел ненулевые.)

[admin]

Ответ: N = −340.

Пример: 10 · 328 − 340 = 30 · 98 = 2940 (Ш=1, Е=0, С=3, Т=2, Ь=8, М=9).

Почему больше нельзя. Обозначим ТЬ = 10Т + Ь. Тогда
N = СЕ·МЬ − ШЕ·СТЬ = (10С + Е)·МЬ − (10Ш + Е)(100С + ТЬ).

Так как МЬ ≤ 98 и Ш ≥ 1, получаем
N ≤ 98(10С + Е) − (10 + Е)(100С + ТЬ) = −20С + Е(98 − 100С) − 10·ТЬ − Е·ТЬ.

При С ≥ 1 скобка (98 − 100С) отрицательна, поэтому выгодно взять Е = 0. Тогда ШЕ = 10Ш, СЕ = 10С, и буква Ш входит в N только со знаком минус, значит Ш = 1. Получаем
N = 100С(М − 10) + 10Ь(С − 1) − 100Т,
откуда сразу М = 9, то есть
N = −100С + 10Ь(С − 1) − 100Т,
где Т ≥ 2 (цифры 0 и 1 уже заняты) и Ь ≤ 8.

Отсюда N ≤ −20С − 80 − 100Т ≤ −20С − 280, так что с ростом С оценка только убывает. При С = 2 приходится брать Т ≥ 3, и тогда N ≤ −420. При С = 3, Т = 2, Ь = 8 получаем ровно N = −300 + 160 − 200 = −340.

Итак, максимум N = −340, и достигается он единственным набором цифр. Полный перебор это подтверждает: ближайшие следующие значения равны −360 (10 · 428 − 360 = 40 · 98 и 10 · 327 − 360 = 30 · 97).