Клетки таблицы 4 × 4 заполнены целыми числами...

[Гость]

Клетки таблицы 4 × 4 заполнены целыми числами. В каждой строке и каждом столбце посчитали произведение всех четырёх чисел. Могли ли получиться числа 1, 5, 7, 2019, −1, −5, −7, −2019 в некотором порядке?

[admin]

Да, могли. Вот пример таблицы:

Код: Выделить всё

 -1   -1   -1     -1
  1    5    1      1
  1    1    7      1
  1    1    1   2019


Произведения по строкам: 1, 5, 7, 2019.
Произведения по столбцам: -1, -5, -7, -2019.

То есть все восемь чисел 1, 5, 7, 2019, -1, -5, -7, -2019 получаются ровно по одному разу.

Замечание о том, почему препятствия и не было. Произведение всех четырёх строчных произведений равно произведению всех 16 чисел таблицы, и произведение всех четырёх столбцовых — тоже. Значит, набор обязан разбиваться на две четвёрки с равными произведениями. Здесь 1·5·7·2019 = 70665 и (-1)(-5)(-7)(-2019) = 70665 (минусов чётное число), так что необходимое условие выполнено — и, как видно из примера, оно оказывается и достаточным.

Общая идея построения: по каждому простому множителю (5, 7, 3, 673) достаточно поставить его в клетку на пересечении «своей» строки и «своего» столбца, а знаки расставить отдельно — первая строка из четырёх минусов даёт каждому столбцу лишний минус, не портя произведений строк.