Софи Жермен в треугольнике

[Гость]

Существует ли треугольник, градусная мера каждого угла которого выражается простым числом Софи Жермен?

[admin]

Да, существует. Например, треугольник с углами 2°, 89°, 89°.

Проверка: 2 — простое и 2·2+1 = 5 простое; 89 — простое и 2·89+1 = 179 простое. Сумма 2 + 89 + 89 = 180. Значит, все три угла — числа Софи Жермен.

Есть и второй пример: 2°, 5°, 173°. Действительно, 2·5+1 = 11 простое, 173 простое и 2·173+1 = 347 тоже простое, а 2 + 5 + 173 = 180.

Полезное соображение, откуда берётся двойка: сумма углов 180 — число чётное, а сумма трёх нечётных чисел нечётна. Поэтому среди углов обязан быть чётный простой угол, то есть 2°. Дальше остаётся найти два числа Софи Жермен с суммой 178, и подходят пары 89 + 89 и 5 + 173.

(Числа Софи Жермен до 178: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173 — перебор пар с суммой 178 других вариантов не даёт.)