НОК больше суммы ровно на N

[Гость]

Докажите, что для каждого натурального N существует тройка попарно различных натуральных чисел, НОК которых превышает их сумму ровно на N.

[admin]

Подходит совсем простая серия троек: для данного N возьмём k = N + 1 и числа

a = 1, b = 2k, c = 3k, т.е. 1, 2(N+1), 3(N+1).

1) Числа попарно различны: при N >= 1 имеем k >= 2, поэтому 1 < 2k < 3k.

2) НОК. Так как НОД(2k, 3k) = k, то НОК(2k, 3k) = 2k*3k/k = 6k, а единица на НОК не влияет: НОК(1, 2k, 3k) = 6k.

3) Сумма: 1 + 2k + 3k = 5k + 1.

4) Разность: 6k - (5k + 1) = k - 1 = N.

Значит, НОК тройки ровно на N больше её суммы, что и требовалось доказать.

Примеры: N = 1 -> (1, 4, 6): НОК 12, сумма 11; N = 3 -> (1, 8, 12): НОК 24, сумма 21; N = 7 -> (1, 16, 24): НОК 48, сумма 41.

(Кстати, при чётном N годится и тройка 1, 2, N+3: там N+3 нечётно, НОК = 2N+6, сумма = N+6. Но конструкция 1, 2(N+1), 3(N+1) работает сразу для всех N, без разбора случаев.)