Даны две несократимые дроби

[Гость]

Даны две несократимые дроби. Знаменатель первой дроби равен 4, знаменатель второй дроби равен 6. Чему может равняться знаменатель произведения этих дробей, если произведение представить в виде несократимой дроби?

[admin]

Знаменатель может равняться 8 или 24, и больше ничему.

Пусть дроби равны [tex]\frac{a}{4}[/tex] и [tex]\frac{b}{6}[/tex]. Несократимость означает, что [tex]\gcd(a,4)=1[/tex], то есть [tex]a[/tex] нечётно, и [tex]\gcd(b,6)=1[/tex], то есть [tex]b[/tex] нечётно и не делится на 3. Произведение равно [tex]\frac{ab}{24}[/tex].

Числа [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] оба нечётны, значит [tex]ab[/tex] нечётно и множитель 8 в знаменателе никогда не сокращается. Единственное возможное сокращение - на 3, и оно происходит ровно тогда, когда [tex]3\mid a[/tex] (число [tex]b[/tex] тройку дать не может по условию).

Итак: если [tex]3\mid a[/tex], то знаменатель равен 8, иначе 24.

Примеры: [tex]\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{8}[/tex] и [tex]\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{24}[/tex].