По мотивам задачи Игоря Фёдоровича Акулича

[Гость]

По мотивам задачи Игоря Фёдоровича Акулича.
Существуют ли два десятизначных числа, для которых их сумма, разность и сумма цифр одного из них являются факториалами?
(В оригинальной задаче речь шла о семизначных числах.)

[admin]

Да, такие числа существуют. Например:

[tex]x=3113510460,\qquad y=3113510340.[/tex]

[tex]x+y=6227020800=13![/tex]
[tex]x-y=120=5![/tex]
Сумма цифр [tex]x[/tex]: [tex]3+1+1+3+5+1+0+4+6+0=24=4![/tex]

Поиск на самом деле короткий. Сумма двух десятизначных чисел лежит в пределах [tex]2\cdot 10^{9}\le x+y<2\cdot 10^{10}[/tex], а единственный факториал в этом промежутке - это [tex]13!=6227020800[/tex] (так как [tex]12!=479001600[/tex] слишком мало, а [tex]14!=87178291200[/tex] слишком велико). Значит, сумма определяется однозначно и числа имеют вид [tex]3113510400\pm d[/tex], где [tex]d[/tex] - половина разности (разность обязана быть чётным факториалом). Сумма цифр десятизначного числа не превосходит 90, поэтому она может равняться только [tex]1!=1[/tex], [tex]2!=2[/tex], [tex]3!=6[/tex] или [tex]4!=24[/tex]. Перебирая небольшие чётные факториалы в качестве разности, при [tex]d=60[/tex] (то есть разность [tex]5!=120[/tex]) сразу получаем сумму цифр [tex]24=4![/tex]