Какие простые числа можно представить в виде суммы кубов мод

[Гость]

Какие простые числа можно представить в виде суммы кубов модулей пяти последовательных целых чисел?

[Kreativshik]

Единственное такое простое число - 37. Сумма кубов модулей пяти последовательных целых чисел имеет вид [tex]S(n) = |n-2|^3 + |n-1|^3 + |n|^3 + |n+1|^3 + |n+2|^3[/tex], где [tex]n[/tex] - целое среднее число. При [tex]n \ge 2[/tex] все числа неотрицательны, [tex]S(n) = 5n(n^2+6)[/tex] - кратно 5 и больше 5, значит, составное. При [tex]n = 1[/tex] получаем модули чисел [tex]-1, 0, 1, 2, 3[/tex]; их кубы: [tex]1, 0, 1, 8, 27[/tex]. Сумма = 37 (простое). При [tex]n = 0[/tex] сумма = 18 (составное). При [tex]n \le -1[/tex] значения симметричны ([tex]S(-n) = S(n)[/tex]), поэтому снова дают 37 при [tex]n = -1[/tex] и составные числа в остальных случаях. Таким образом, 37 - единственное простое число, представимое в таком виде.