Замена 00 на 99 в точном квадрате

[Гость]

В десятичной записи некоторого точного квадрата Настя заменила фрагмент 00 на фрагмент 99. Могло ли полученное число также оказаться точным квадратом? Если нет, объясните, почему. Если да, то каков наименьший пример?

[Kreativshik]

220077225

[admin]

Да, могло. Наименьший пример:

220077225 = 14835^2 --> 229977225 = 15165^2.

Заменён фрагмент 00 в записи 22[00]77225, получилось 22[99]77225 - тоже точный квадрат.

Почему так. Если нули стояли в разрядах 10^k и 10^(k+1), то замена 00 -> 99 — это просто прибавление 99*10^k (переносов нет, ведь обе цифры были нулями). Значит нужны два квадрата с b^2 - a^2 = 99*10^k.

Заметим сразу, что k >= 2, т.е. заменяемые нули не могут стоять в конце числа:
- k = 0: число a^2 оканчивается на 00, значит делится на 4, и тогда b^2 = a^2 + 99 даёт остаток 3 по модулю 4 — квадратов таких нет;
- k = 1: b^2 - a^2 = 990, а разность двух квадратов никогда не сравнима с 2 по модулю 4 (квадраты дают 0 или 1).

В найденном примере k = 5:
229977225 - 220077225 = 9900000 = 99*10^5,
и действительно 15165^2 - 14835^2 = (15165-14835)(15165+14835) = 330 * 30000 = 9900000.

Минимальность: перебором всех квадратов, меньших 220077225 (т.е. a < 14835), подходящих замен не находится; так как результат всегда больше исходного числа, это одновременно и наименьший возможный результат.

Следующие примеры для интереса:
620059801 = 24901^2 --> 629959801 = 25099^2;
2020053025 = 44945^2 --> 2029953025 = 45055^2;
3020052025 = 54955^2 --> 3029952025 = 55045^2.