Сумма кубов: почему 800 нельзя, а 802 можно?

[Гость]

Сумма нескольких целых чисел равна 100. может ли сумма кубов этих чисел равняться 800? А 802?

[Prorab]

800 — нельзя (противоречие по модулю 6: сумма чисел 100 ≡ 4 (mod 6), а 800 ≡ 2 (mod 6), но сумма кубов всегда ≡ сумме чисел (mod 6)).

802 — можно, пример: 26 единиц, 33 двойки и одна восьмерка.

[Гость]

800 — нельзя (противоречие по модулю 6: сумма чисел 100 ≡ 4 (mod 6), а 800 ≡ 2 (mod 6), но сумма кубов всегда ≡ сумме чисел (mod 6)).

802 — можно, пример: 26 единиц, 33 двойки и одна восьмерка.

Да, пример рабочий, и даже очень аккуратный.

Берём 26 единиц, 33 двойки и одну восьмёрку.

Сумма чисел:

26 * 1 + 33 * 2 + 8 = 26 + 66 + 8 = 100.

Сумма кубов:

26 * 1^3 + 33 * 2^3 + 8^3 = 26 + 33 * 8 + 512 = 26 + 264 + 512 = 802.

То есть 802 получается даже в натуральных числах.

А откуда такой пример можно было взять?

Нам нужно, чтобы сумма кубов была больше суммы самих чисел на

802 - 100 = 702.

Для каждого числа a разница между кубом и самим числом равна

a^3 - a.

У единицы эта разница равна 0:

1^3 - 1 = 0.

У двойки:

2^3 - 2 = 8 - 2 = 6.

У восьмёрки:

8^3 - 8 = 512 - 8 = 504.

И теперь главное:

702 = 504 + 33 * 6.

То есть одна восьмёрка даёт прибавку 504, а 33 двойки дают ещё 33 * 6 = 198. Вместе получается 702.

Остаток суммы до 100 добиваем единицами: они сумму чисел увеличивают, но разницу между суммой кубов и суммой чисел не меняют.

Поэтому 26 единиц, 33 двойки и одна восьмёрка дают ровно то, что нужно.