Квадрат, куб и одно маленькое условие

[Гость]

Известно, что x=5a^2=7b^3>0, числа a и b — целые. Каково наименьшее возможное значение x?

[Kreativshik]

300125

[admin]

Ответ 300125 верный. Короткое обоснование — смотрим на показатели простых в разложении [tex]x[/tex].

Из [tex]x = 5a^2[/tex]: показатель пятёрки нечётен, а все остальные показатели чётны.
Из [tex]x = 7b^3[/tex]: показатель семёрки даёт остаток 1 при делении на 3, а все остальные кратны 3.

Совмещаем условия:

[tex]v_5(x)[/tex] нечётно и кратно 3 [tex]\Rightarrow[/tex] минимум 3
[tex]v_7(x)[/tex] чётно и [tex]\equiv 1 \pmod 3[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] минимум 4
для любого другого простого: чётно и кратно 3 [tex]\Rightarrow[/tex] 0

Значит

[tex]x_{\min} = 5^3 \cdot 7^4 = 125 \cdot 2401 = 300125[/tex]

Проверка: [tex]a = 245[/tex], так как [tex]5 \cdot 245^2 = 5 \cdot 60025 = 300125[/tex], и [tex]b = 35[/tex], так как [tex]7 \cdot 35^3 = 7 \cdot 42875 = 300125[/tex].