Задача с прошлогодней олимпиады, 2025

[Гость]

Сколько существует пар натуральных чисел (n, m) таких, что n+(n+1)+(n+2)+… +(n+m)=2025?

[Kreativshik]

Сумма арифметической прогрессии:
[tex]n+(n+1)+\cdots+(n+m)=\frac{(m+1)(2n+m)}2=2025.[/tex]
Значит,
[tex](m+1)(2n+m)=4050.[/tex]
Обозначим [tex]a=m+1[/tex], [tex]b=2n+m[/tex]. Тогда
[tex]ab=4050.[/tex]
Так как [tex]n\ge 1[/tex] и [tex]m\ge 1[/tex], то [tex]a\ge 2[/tex] и
[tex]b=2n+m=2n+a-1>a.[/tex]
Разложим:
[tex]4050=2\cdot 3^4\cdot 5^2.[/tex]
Число делителей:
[tex](1+1)(4+1)(2+1)=30.[/tex]
Так как [tex]4050[/tex] не является квадратом, ровно половина делителей меньше [tex]\sqrt{4050}[/tex], то есть [tex]15[/tex]. Среди них есть [tex]a=1[/tex], что даёт [tex]m=0[/tex], а [tex]m[/tex] - натуральное, то есть [tex]m\ge 1[/tex]. Поэтому исключаем этот случай.
Итого:
[tex]15-1=14.[/tex]