Задача из «Кванта» про квартиру, квадрат и куб

[Гость]

В третьем номере журнала «Квант» за 1983 год, в рубрике «Квант для младших школьников», была предложена такая задача:

Лёня и Коля пошли в гости к Боре, но забыли номер его квартиры. Коля помнил, что если прибавить к этому номеру 10, то получится точный куб, а Лёня помнил, что если вычесть из номера квартиры число 10, то получится точный квадрат. В какой квартире живёт Боря?

Если предположить, что в доме не больше 1000 квартир, то можно просто перебрать кубы первых 10 натуральных чисел. Тогда быстро находится ответ: Боря живет в квартире 206.

Но возникает вопрос: как строго доказать единственность этого решения?

Пожалуйста, помогите разобраться!

[Prorab]

Боря живет в квартире 206, и это решение единственно при условии, что квартир не больше 1000 (а в реальном доме больше 1000 квартир бывает редко для школьной задачи).

Если убрать ограничение, то теоретически могут быть еще большие решения, но их нет — это доказывается в теории чисел

[Гость]

Боря живет в квартире 206, и это решение единственно при условии, что квартир не больше 1000 (а в реальном доме больше 1000 квартир бывает редко для школьной задачи).

Если убрать ограничение, то теоретически могут быть еще большие решения, но их нет — это доказывается в теории чисел

Большое спасибо!