Можно ли так расставить числа по кругу?

[Гость]

По кругу в каком-то порядке расставлены числа от 1 до 10. Может ли оказаться, что сумма любых двух идущих подряд чисел делится хотя бы на одно из чисел 3 и 10?

Если да, то сколько всего решений у этой задачи?

(если считать одинаковыми решения, которые получаются поворотом круга или обходом в обратную сторону)

[Prorab]

Да, так можно расставить числа.

Количество решений: 36 (с точностью до поворота круга и обхода в обратную сторону).

Если считать все перестановки без учёта симметрии, то всего 720 валидных расстановок.

Пример решения

Одно из решений: 1 → 2 → 4 → 5 → 10 → 8 → 7 → 3 → 6 → 9 → 1
Проверка соседних сумм:

1+2=3 ✓ (делится на 3)
2+4=6 ✓ (делится на 3)
4+5=9 ✓ (делится на 3)
5+10=15 ✓ (делится на 3)
10+8=18 ✓ (делится на 3)
8+7=15 ✓ (делится на 3)
7+3=10 ✓ (делится на 10)
3+6=9 ✓ (делится на 3)
6+9=15 ✓ (делится на 3)
9+1=10 ✓ (делится на 10)

Интересное наблюдение

Во всех 36 решениях обязательно присутствуют ровно 2 пары с суммой, делящейся на 10 (а не на 3). Это всегда пары из множества {(1,9), (3,7), (4,6)} — суммы равны 10. Число 5 не участвует ни в одной паре с суммой 10 (5+5=10, но 5 одно). Число 2 и 10 также не образуют пар с суммой 10 внутри диапазона 1–10.
При этом число 10 везде соседствует с числами, дающими сумму, делящуюся на 3 (10+2=12, 10+5=15, 10+8=18), а не на 10.