Степени двойки как сумма куба и двух квадратов

[Гость]

Докажите, что всякая степень двойки, начиная с четвёртой, представима в виде суммы куба натурального числа и квадратов двух натуральных чисел.

[Kreativshik]

Докажите, что всякая степень двойки, начиная с четвёртой, представима в виде суммы куба натурального числа и квадратов двух натуральных чисел.

Для любого натурального [tex]n \ge 4[/tex] покажем, что [tex]2^n[/tex] можно представить в виде [tex]a^3 + b^2 + c^2[/tex] с натуральными [tex]a, b, c[/tex].

Случаи [tex]n = 4[/tex] и [tex]n = 5[/tex].
Для [tex]n = 4[/tex] имеем [tex]2^4 = 16 = 2^3 + 2^2 + 2^2[/tex], то есть [tex]a = 2, b = 2, c = 2[/tex].
Для [tex]n = 5[/tex] имеем [tex]2^5 = 32 = 3^3 + 1^2 + 2^2[/tex], то есть [tex]a = 3, b = 1, c = 2[/tex].

Случай [tex]n \ge 6[/tex].
Рассмотрим остаток [tex]n[/tex] при делении на [tex]3[/tex].

Если [tex]n \equiv 0 \pmod 3[/tex], положим [tex]a = 3 \cdot 2^{\frac{n-6}{3}}[/tex].
Тогда [tex]a^3 = 27 \cdot 2^{n-6}[/tex] и [tex]2^n - a^3 = 2^{n-6}(2^6 - 27) = 2^{n-6} \cdot 37[/tex].
Число [tex]37 = 1^2 + 6^2[/tex].
Если [tex]n-6 = 2s[/tex] чётно, то [tex]2^{n-6} \cdot 37 = (2^s \cdot 1)^2 + (2^s \cdot 6)^2[/tex]; берём [tex]b = 2^s, c = 6 \cdot 2^s[/tex].
Если [tex]n-6 = 2s+1[/tex] нечётно, то [tex]2 \cdot 37 = (1^2+1^2)(1^2+6^2) = 5^2 + 7^2[/tex] и [tex]2^{n-6} \cdot 37 = (2^s \cdot 5)^2 + (2^s \cdot 7)^2[/tex]; берём [tex]b = 5 \cdot 2^s, c = 7 \cdot 2^s[/tex].

Если [tex]n \equiv 1 \pmod 3[/tex] (при [tex]n \ge 7[/tex]), положим [tex]a = 3 \cdot 2^{\frac{n-7}{3}}[/tex].
Тогда [tex]a^3 = 27 \cdot 2^{n-7}[/tex] и [tex]2^n - a^3 = 2^{n-7}(2^7 - 27) = 2^{n-7} \cdot 101[/tex].
Число [tex]101 = 1^2 + 10^2[/tex].
Если [tex]n-7 = 2s[/tex] чётно, берём [tex]b = 2^s, c = 10 \cdot 2^s[/tex].
Если [tex]n-7 = 2s+1[/tex] нечётно, то [tex]2 \cdot 101 = (1^2+1^2)(1^2+10^2) = 9^2 + 11^2[/tex] и берём [tex]b = 9 \cdot 2^s, c = 11 \cdot 2^s[/tex].

Если [tex]n \equiv 2 \pmod 3[/tex] (при [tex]n \ge 8[/tex]), положим [tex]a = 3 \cdot 2^{\frac{n-8}{3}}[/tex].
Тогда [tex]a^3 = 27 \cdot 2^{n-8}[/tex] и [tex]2^n - a^3 = 2^{n-8}(2^8 - 27) = 2^{n-8} \cdot 229[/tex].
Число [tex]229 = 2^2 + 15^2[/tex].
Если [tex]n-8 = 2s[/tex] чётно, берём [tex]b = 2 \cdot 2^s, c = 15 \cdot 2^s[/tex].
Если [tex]n-8 = 2s+1[/tex] нечётно, то [tex]2 \cdot 229 = (1^2+1^2)(2^2+15^2) = 13^2 + 17^2[/tex] и берём [tex]b = 13 \cdot 2^s, c = 17 \cdot 2^s[/tex].

Во всех случаях [tex]a, b, c[/tex] - натуральные числа, и прямая подстановка даёт [tex]a^3 + b^2 + c^2 = 2^n[/tex].
Таким образом, утверждение доказано для всех [tex]n \ge 4[/tex].